2. Introduction aux méthodes mathématiques
La distribution binomiale (2/2)
Les règles 3 et 4 semblent être identiques, et elles le sont pour les situations telles le lancer de pièces ou de dés, mais elles ne sont pas nécessairement identiques dans beaucoup d'autres situations. Considérons la question " Se je vais pêcher chaque jour au même endroit pendant deux semaines, quelle est la probabilité que j'attrape des poissons chaque jour ? " Vous pourriez décider que la condition 4 est remplie dans cette expérience, mais vous pourriez aussi décider que la 3 ne l'est pas, puisque la probabilité d'attraper un poisson dépend chaque jour de la marée, de votre niveau de concentration, et de bien d'autres variables qui peuvent faire que la probabilité de succès change d'un jour à l'autre.
Si vous faites n essais et que vous voulez savoir combien de combinaisons de x résultats vous pouvez obtenir de ces essais, la réponse est
Où :
Cette équation pour une combinaison de x évènements lors de n essais peut être rapidement établie. Si vous avez 3 essais, combien de combinaisons de 2 évènements pouvez-vous obtenir ? Vous pouvez obtenir les résultats (1 et 2), (1 et 3) et (2 et 3), la réponse est donc 3. On peut voir que
Maintenant, raisonnons pour 4 essais, pour lesquels vous voulez connaitre le nombre de combinaisons de 2 évènements possible. Vous pouvez obtenir (1 et 2), (1 et 3), (1 et 4), (2 et 3), (2 et 4), et (3 et 4), c'est-à-dire six résultats possibles, et ici aussi on voit que
On peut en déduire que lorsqu'il y a n essais, alors il y a
combinaisons de ces n essais qui contiendrons x succès. Si nous devons déterminer la probabilité qu'il y ait x succès dans n essais, nous devons aussi connaitre la probabilité de succès pour chaque essai. Appelons la probabilité de succès pour un essai " p ". Les essais sont indépendants, mais arriver au but de x succès dépends des résultats antérieurs, les probabilités peuvent donc être multipliées. Donc, pour trois essais, pour lesquels on veut deux succès, la probabilité est de p·p·(1-p), qui doit ensuite être multipliée par le nombre de combinaisons pouvant avoir ce nombre de succès, c'est-à-dire
La forme générale de l'équation binomiale sera la suivante :
La moyenne et la variance d'une distribution binomiale peuvent aussi être trouvées à partir des équations générales de moyenne et de variance :
Questions:
- Quelle est la FDP théorique pour le tirage aléatoire d'une certaine carte (nombre ou rang, par exemple As, 2, 3, ..., Valet, etc.) hors d'un jeu de 52 cartes ?
Mélanger le jeu de cartes, puis tirez en une. Répétez l'opération 30 fois afin de trouver une FDP pour l'échantillon afin de répondre à la question. - Si vous mélangez un jeu une fois, puis que vous tirez 30 cartes au hasard, comment la FDP varie-t-elle par rapport à celle trouvée à la question 1 ?
