2. Introduction aux méthodes mathématiques

Probabilités (2/2)

Nous venons de nous intéresser aux probabilités qu'un évènement, ou qu'une combinaison d'évènements arrive. Mais bien souvent, nous voudrons connaitre la probabilité qu'un évènement arrive en fonction d'un autre évènement qui a déjà eu lieu. Cela s'appelle la probabilité conditionnelle.

La probabilité conditionnelle $Pr\left\{B|A\right\}$ est la probabilité que B arrive si A a eu lieu. La probabilité conditionnelle peut s'exprimer par l'équation

Dans cette équation, $Pr\left\{B\cap A\right\}$ est la probabilité jointe que A et B arrivent, c'est-à-dire la probabilité que les deux évènements aient lieu. Si les deux évènements sont indépendants, leur probabilité jointe est le produit de deux probabilités indépendantes.

Reprenons notre dé... Quelle est la probabilité d'obtenir un six au second lancé de dé si on en a déjà obtenu un au premier lancé ? Nous savons que la probabilité jointe, la probabilité d'obtenir deux six, est de 1/36, et nous savons également que la probabilité d'obtenir un six au premier lancer est de 1/6. Donc, on peut voir que la probabilité d'obtenir un six au deuxième lancer est aussi de 1/6.

Prenons un exemple plus complexe. Une usine produit deux types de verrous, tous les deux destinés à la même fonction, et les ingénieurs veulent simplifier leur production en ne produisant plus qu'un type de verrous. Un critère qu'ils doivent prendre en compte est le taux de défaillance des verrous produits. Pour évaluer cela, ils ont pris un échantillon de verrous des deux types et ont déterminé combien étaient effectifs et combien étaient défaillants, comme le montre la table ci-dessous.

Si on converti ceci en probabilités :

Les probabilités dans la table sont des probabilités jointes de l'entièreté de l'échantillon, donc Pr{Type A n Bon} = 0,56 et les probabilités dans la colonne "total" sont les probabilités marginales. On peut voir que les verrous de type A composent 80% de l'échantillon, contre 20%, de type B. On voit aussi que 73% des verrous sont bons, et que 27% sons défaillants. Ce que l'on veut vraiment savoir, ' c'est la probabilité qu'un verrou soir défaillant selon qu'il est du type A ou du type B ? '.

Au vu de ces résultats, il semble qu'il vaille mieux produire des verrous du type B que du type A.

Questions

3. Si le cheval Pie in the Sky gagne la première course, quelle est la probabilité que Doughboy gagne la seconde ?
   
   Indice : ↓↑

   La question 3 concerne les probabilités conditionnelles, Pr{A|B} ou la probabilité que A se passe, si B est arrivé. La forme générale d'une probabilité conditionnelle est:

   $$Pr\left\{A\right|B\}=\frac{Pr\{A\cap B\}}{Pr\left\{B\right\}}$$

   Où Pr{A∩B} est la probabilité aue A ET B arrivent. Si les évènements A et B sont indépendants, alors:

   $\begin{array}{l}Pr\{A\cap B\}=Pr\left\{A\right\}\cdot Pr\left\{B\right\}\text{et ainsi}\\ Pr\left\{A\right|B\}=\frac{Pr\left\{A\right\}\cdot Pr\left\{B\right\}}{Pt\left\{B\right\}}=Pr\{A\}\end{array}$
4. Quelle est la probabilité que Raddish gagne les deux courses ?
   
   
5. Quelle est la combinaison de victoires la plus probable ?
   
   
6. Vous voulez faire plus d'un pari sur les gagnants des deux courses, afin d'obtenir une probabilité de minimum 25% qu'une de vos combinaisons ne soit la bonne. Quel est le plus petit nombre de combinaisons que vous devez parier pour atteindre 30% ?
   
   
7. Dans un jeu de 52 cartes, contenant quatre familles, quelle est la probabilité de tirer un Roi à la première carte tirée ?
   
   
8. On vous distribue une main de 5 cartes hors d'un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité d'obtenir un As ?
   
   
9. On vous distribue encore 5 cartes. Quelle est la probabilité d'obtenir cinq cartes de pique ?