Ergänzung 2.3: Das Stefan-Boltzmann-Gesetz (2/2)

Darstellung aus der Elektrodynamik und der Thermodynamik

In der theoretischen Elektrodynamik wird gezeigt (Stichwort: Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Felds), dass elektromagnetische Wellen einen Strahlungsdruck erzeugen, der sich als Kraft auf eine beleuchtete Fläche auch experimentell nachweisen lässt. Dieser Strahlungsdruck hängt direkt mit der Intensität zusammen, welche auf die Fläche trifft, und die am Ende der Ergänzung 1.4 als Betrag des gemittelten Poynting-Vektors $⟨ S ⟩$ erhalten wurde:

p = ⟨ S ⟩ / c

Die Größe $c$ ist die Lichtgeschwindigkeit. Ebenfalls in Ergänzung 1.4 wurde gezeigt, dass sich der Poynting-Vektor aus der mit $c$ multiplizierten Energiedichte $U$ berechnet:

⟨ S ⟩ = c U

Strahlungsdruck und Energiedichte sind demnach eng miteinander verknüpft. Wir betrachten nun einen Hohlraum und elektromagnetische Wellen im thermischen Gleichgewicht. Unter diesen Bedingungen gilt für den Strahlungsdruck im Hohlraum:

p = \frac{1}{3} U

Diese Beziehung ist die Zustandsgleichung der Hohlraumstrahlung.

Die Energiedichte hängt von der Temperatur, aber nicht vom Volumen des Hohlraums ab; eine isotherme Volumenänderung hat keinen Einfluss auf die Hohlraumstrahlung. Dies gilt somit auch für den Strahlungsdruck. Insofern unterscheidet sich die Zustandsgleichung der Hohlraumstrahlung deutlich von der Zustandsgleichung $p V = R T$ eines idealen Gases, dessen Zustand neben Druck und Temperatur auch vom Volumen abhängt; $R$ ist die allgemeine Gaskonstante. Sie unterstützt jedoch das Photonenmodell des Lichts mit dem Konzept eines Photonengases im Hohlraum; allerdings sind im Gegensatz zu den Teilchen des idealen Gases die Photonenzahlen infolge Absorption und Emission veränderlich.

Die gesamte Strahlungsenergie $E$ im Hohlraum hängt nach $E = U V$ von der Energiedichte und dem Volumen ab. Sie entspricht der inneren Energie im Hohlraum, deren infinitesimale Änderung nach $U$ und $V$ entwickelt werden kann:

d E = V d U + U d V

Nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik erhöht sich die innere Energie durch zugeführte Wärme $δ q$ und nimmt durch nach außen abgegebene Volumenarbeit $p d V$ ab:

d E = δ q - p d V

Gleichsetzen der beiden Beziehungen für die innere Energie, Ersetzen des Drucks durch die Energiedichte nach der oben genannten Zustandsgleichung der Hohlraumstrahlung und Umformen ergibt:

δ q = \frac{4}{3} U d V + V d U

Die Entropie im Hohlraum ändert sich infolge einer Wärmeänderung entsprechend

d S = \frac{δ q}{T} = \frac{4}{3} \frac{U}{T} d V + \frac{V}{T} \frac{\partial U}{\partial T} d T

Andererseits gilt für die Entropie bei Änderungen des Volumens und der Temperatur:

d S = \frac{\partial S}{\partial V} d V + \frac{\partial S}{\partial T} d T

Da die Entropie eine stetige und differenzierbare Größe (und daher eine Zustandsfunktion) ist, sind die überkreuzten Ableitungen der Koeffizienten einander gleich:

\frac{\partial}{\partial T} \frac{\partial S}{\partial V} = \frac{\partial}{\partial V} \frac{\partial S}{\partial T}

oder

\frac{\partial^{2} S}{\partial T \partial V} = \frac{\partial^{2} S}{\partial V \partial T}

auf die Reihenfolge der Ableitungen kommt es nicht an. Hier soll also sein:

\frac{4}{3} \frac{\partial}{\partial T} \frac{U}{T} = \frac{\partial}{\partial V} (\frac{V}{T} \frac{\partial U}{\partial T})

Ausrechnen ergibt:

\frac{4}{3} (\frac{\partial U}{\partial T} - \frac{U}{T^{2}}) = \frac{1}{T} \frac{\partial U}{\partial T}

Nach Kürzen und Umformen erhält man die folgende Gleichung:

\frac{1}{U} d U = \frac{4}{T} d T

Integriert man links und rechts in den jeweils zueinander gehörenden Grenzen von $U$ und $T$ , so folgt das Stefan-Boltzmann-Gesetz:

U = const . \cdot T^{4}

Der aus der Integrationskonstante hervorgehende Vorfaktor auf der rechten Seite kann nicht im Rahmen der klassischen Physik bestimmt werden; dies erfordert, wie auf der vorherigen Seite gezeigt, das Planckschen Strahlungsgesetz und somit die Quantentheorie.

Die Grundlagen zu den auf dieser Seite genutzten Differenzialen und Ableitungen von Funktionen mehrerer Variabler finden Sie in der Ergänzung 2.6.

Informationen über thermodynamische Zustandsgrößen und -funktionen sowie die Bedeutung der Symbole " $d$ " und " $δ$ " können in der Ergänzung 2.7 nachgelesen werden.

Spektren der Erde

Ergänzung 2.3: Das Stefan-Boltzmann-Gesetz (2/2)

Darstellung aus der Elektrodynamik und der Thermodynamik