Ergänzung 2.3: Das Stefan-Boltzmann-Gesetz (1/2)

Darstellung aus dem Planckschen Strahlungsgesetz

Die Energiedichte U

Die spektrale Verteilung der Energiedichte des Strahlungsfelds eines schwarzen Körpers ist in der Frequenzdarstellung:

u_{f} = \frac{8 π f^{2}}{c^{3}} \frac{h f}{exp {h f / k T} - 1}

Sie soll über alle Frequenzen integriert werden, um die spektral integrierte Energiedichte $U$ zu bestimmen:

U = \int_{f = 0}^{\infty} u_{f} d f

das heißt:

U = \frac{8 π h}{c^{3}} \int_{f = 0}^{\infty} \frac{f^{3}}{exp {h f / k T} - 1} d f

Die Integration wird mit der Einführung einer neuen Variablen übersichtlicher:

h f / k T = x

Mit den Ersetzungen

f = \frac{k T}{h} x

und

d f = \frac{k T}{h} d x

wird:

U = \frac{8 π k^{4}}{c^{3} h^{3}} T^{4} \int_{x = 0}^{\infty} \frac{x^{3}}{e^{x} - 1} d x

Das Integral ist nicht elementar lösbar. Sein Wert ist:

\int_{x = 0}^{\infty} \frac{x^{3}}{e^{x} - 1} d x = \frac{π^{4}}{15}

...für Mathematiker ↓

In der Funktionentheorie wird gezeigt, dass sich das Ergebnis aus der Riemannschen Zeta-Funktion $ς (ν)$ und der Gamma-Funktion $Γ (ν)$ zum Argument $ν = 4$ berechnet. Siehe zum Beispiel I.S. Gradshteyn & I.M. Ryzhik, Table of Integrals, Series and Products (Academic Press), in Abschnitt 3.4.1.1, Gleichung 1:

\int_{x = 0}^{\infty} \frac{x^{ν - 1}}{e^{x} - 1} d x = Γ (ν) ς (ν) mit Re ν > 1

mit der Riemannschen Zeta-Funktion

ς (ν) = \sum_{n = 1}^{\infty} n^{- ν} mit Re ν > 1

und der Gamma-Funktion

Γ (ν) = (ν - 1)! mit ν \in ℕ

Insbesondere ist:

ς (4) = 1 + \frac{1}{2^{4}} + \frac{1}{3^{4}} + ... = \frac{π^{4}}{90}

und

Γ (4) = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

Damit wird:

U = \frac{8 π^{5} k^{4}}{15 c^{3} h^{3}} T^{4}

Die spezifische Ausstrahlung M

Der Zusammenhang zwischen Energiedichte und spezifischer Ausstrahlung eines isotropen Strahlungsfelds (d.h., in dem keine Ausbreitungsrichtung bevorzugt ist) lautet: