Ergänzung 1.4: Energiedichte und Intensität elektromagnetischer Wellen

Die Feldenergie

Die Energiedichte U einer Welle ist als ihre Energie pro Einheitsvolumen definiert und wird in J/m3 oder in Ws/m3 angegeben.

Eine elektromagnetische Welle ist durch eine Energiedichte U el des elektrischen Felds E → und eine Energiedichte U mag des Magnetfelds B → charakterisiert, für die gilt:

U el = ε 2 E 2                U mag = 1 2μ B 2 ,

mit der Permittivität ε und der Permeabilität μ der Materie. Auf Seite 3 der Ergänzung 1.2 fanden wir die folgende Beziehung zwischen dem elektrischen und dem magnetischen Feld einer elektromagnetischen Welle:

B → = k ω a → × E → ,

wobei ω und k die Kreisfrequenz und die Wellenzahl sind, und a → der Einheitsvektor in Ausbreitungsrichtung der Welle ist. Das Verhältnis ω/k ist gleich der Phasengeschwindigkeit c der Welle.

Quadriert man die Gleichung, und berücksichtigt die Maxwell-Beziehung c=1/ εμ (Ergänzung 1.3) zwischen der Phasengeschwindigkeit und der Permittivität und Permeabilität, so folgt:

B 2 = k 2 ω 2 E 2 = 1 c 2 E 2 =εμ E 2

Daher gilt:                                 U el = U mag ,

die elektrischen und die magnetischen Feldenergien elektromagnetischer Wellen sind also identisch, und die Gesamtenergiedichte wird:

U= U el + U mag =ε E 2 = 1 μ B 2 = ε μ EB

Die Intensität

Der Energiefluss einer Welle ist gleich der Energie der Welle pro Einheitsfläche und Zeiteinheit, er wird in der Einheit W/m2 angegeben.

Elektromagnetische Wellen breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus. Der Energiefluss kann daher aus dem Produkt von c mit der Energiedichte bestimmt werden:

c( U el + U mag )=c ε μ EB= 1 μ EB

Man kann dieser skalaren Größe eine Orientierung in Richtung der Wellenausbreitung geben, indem EB durch E → × B → ersetzt wird. So entsteht ein Vektor S → , der als Poynting-Vektor bezeichnet wird:

S → = 1 μ E → × B →

Eine ebene monochromatische Welle mit

E → = E → o sin( k → ⋅ r → −ωt )            B → = B → o sin( k → ⋅ r → −ωt )

ergibt:                           S → = 1 μ E → o × B → o sin 2 ( k → ⋅ r → −ωt )

Es ist das zeitliche Mittel des Poynting-Vektors, was vom Auge oder von einem Fotoempfänger registriert wird. Wir benutzen spitze Klammern links und rechts ⟨ ... ⟩ als symbol für die zeitliche Mittelung.

Der sin2-Term wird:        ⟨ sin 2 ( k → ⋅ r → −ωt) ⟩= 1 2

Daher:

⟨ S → ⟩= 1 μ ⟨ E → × B → ⟩= 1 2μ ( E → o × B → o )= cε 2 E o 2   a → = c 2μ B o 2   a →

Werte für den Betrag des Poynting-Vektors

⟨ S ⟩= cε 2 E o 2 = c 2μ B o 2

werden in W/m2 angegeben. In der physikalischen Photometrie (auch als Radiometrie bezeichnet) entspricht dies der Bestrahlungsstärke, die in den gleichen Einheiten angegeben wird.