Supplément 1.4: Densité énergétique et éclairement des ondes électromagnétiques

L'énergie du champ

La densité d'énergie $U$ d'une onde est définie comme son énergie par unité de volume, exprimée en J/m³ ou Ws/m³.

Une onde électromagnétique est caractérisée par une densité d'énergie $U_{e l}$ de son champ électrique $\vec{E}$ et une densité d'énergie $U_{m a g}$ de son champ magnétique $\vec{B}$ :

U_{e l} = \frac{ε}{2} E^{2}

U_{m a g} = \frac{1}{2 μ} B^{2}

avec la permittivité électrique ε et la perméabilité magnétique μ du matériau. À la page 3 du supplément 1.2, nous avons trouvé la relation suivante entre le champ électrique et le champ magnétique des ondes électromagnétiques :

\vec{B} = \frac{k}{ω} \vec{a} \times \vec{E}

où ω et k sont la fréquence circulaire et le nombre d'onde de l'onde, et $\vec{a}$ est un vecteur unitaire dans la direction de l'onde qui se propage. Le rapport $ω / k$ est la vitesse de phase c de l'onde.

En élevant l'équation au carré, et compte tenu de la relation de Maxwell $c = 1 / \sqrt{ε μ}$ (supplément 1.3) entre la vitesse de phase et la permittivité et la perméabilité, on obtient :

B^{2} = \frac{k^{2}}{ω^{2}} E^{2} = \frac{1}{c^{2}} E^{2} = ε μ E^{2}

D'où : $U_{e l} = U_{m a g}$ ,

les énergies des champs électriques et magnétiques des ondes électromagnétiques sont identiques, et la densité d'énergie totale est :

U = U_{e l} + U_{m a g} = ε E^{2} = \frac{1}{μ} B^{2} = \sqrt{\frac{ε}{μ}} E B

Équations ↓

L'éclairement

L'éclairement d'une onde correspond à l'énergie de l'onde traversant une unité de surface par intervalle de temps, exprimée en W/m².

Les ondes électromagnétiques se déplacent à la vitesse de la lumière, et l'éclairement peut donc être calculé en multipliant c par la densité d'énergie :

c (U_{e l} + U_{m a g}) = c \sqrt{\frac{ε}{μ}} E B = \frac{1}{μ} E B

On peut donner à cette quantité scalaire une orientation dans le sens de la propagation de l'onde en remplaçant EB par $\vec{E} \times \vec{B}$ . Il s'agit alors d'un vecteur $\vec{S}$ , appelé vecteur de Poynting :

\vec{S} = \frac{1}{μ} \vec{E} \times \vec{B}

Une onde plane monochromatique avec

\vec{E} = {\vec{E}}_{o} sin (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)

\vec{B} = {\vec{B}}_{o} sin (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)

donne : $\vec{S} = \frac{1}{μ} {\vec{E}}_{o} \times {\vec{B}}_{o} {sin}^{2} (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)$

C'est la moyenne temporelle du vecteur de Poynting qui est vu par l'œil ou par un photodétecteur. Nous utilisons les parenthèses $⟨ ... ⟩$ pour symboliser la moyenne temporelle.

Le terme sin² devient : $⟨ {sin}^{2} (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t) ⟩ = \frac{1}{2}$

D'où :

⟨ \vec{S} ⟩ = \frac{1}{μ} ⟨ \vec{E} \times \vec{B} ⟩ = \frac{1}{2 μ} ({\vec{E}}_{o} \times {\vec{B}}_{o}) = \frac{c ε}{2} E_{o}^{2} \vec{a} = \frac{c}{2 μ} B_{o}^{2} \vec{a}

$\vec{a}$ est ici aussi le vecteur unitaire dans la direction de la propagation de l'onde. Les valeurs absolues du vecteur de Poynting

⟨ S ⟩ = \frac{c ε}{2} E_{o}^{2} = \frac{c}{2 μ} B_{o}^{2}

sont exprimées en W/m². En photométrie physique (appelée radiométrie), cela correspond à l'éclairement $E_{r a d}$ , qui est donnée dans les mêmes unités.

Question 1: Champ électrique et magnétique du rayonnement solaire ↓

Le spectre de la Terre

Supplément 1.4: Densité énergétique et éclairement des ondes électromagnétiques

L'énergie du champ

L'éclairement