Supplément 1.2: Résolution des équations de Maxwell pour les ondes électromagnétiques    (3/3)

Ondes planes monochromatiques      cont.

Les ondes se propageant dans des directions arbitraires a peuvent être obtenues en convertissant le nombre d'onde k en un vecteur ayant la direction de l'onde qui se propage, k a . Il s'agit du vecteur d'onde k , avec | k |= k=2π /λ .

TLe champ électrique et magnétique des ondes se propageant dans une direction donnée par l'orientation de k   est alors :

E ( r ,t)= E o sin( k r ωt )          B ( r ,t)= B o sin( k r ωt )

Quelle relation existe-t-il entre E and B ? Elles sont reliées entre elles dans la troisième et la quatrième équation de Maxwell. Par exemple, la troisième équation se lit comme suit :

× E = B t

Nous choisissons une onde électromagnétique se propageant dans la direction x. Les vecteurs de champ étant orthogonaux à x, ils se réduisent en coordonnées cartésiennes à :

E =( 0, E y , E z )            B =( 0, B y , B z )

Avec ces vecteurs, la troisième équation de Maxwell devient :

composante y :            E z x = B y t
composante z :            E y x = B z t

(la composante x disparaît puisque Bx=0).

Question 2: Troisième équation de Maxwell en composantes cartésiennes
Équations

Pour résoudre la composante y, nous choisissons un champ électrique sinusoïdal Ez:

E z = E z,o sin( kxωt )

Avec la dérivée partielle par rapport à x, E z x , on obtient pour la composante y du champ magnétique :

B y = E z x dt = k ω E z

De la même manière, la résolution de la composante z de l'équation de Maxwell donne :

B z = k ω E y

Les deux équations peuvent être combinées en une équation vectorielle :

B = k ω a × E

a est à nouveau un vecteur unitaire pointant dans la direction de la propagation de l'onde. Les relations prouvent que

  • E et B et la direction de propagation de l'onde sont tous orthogonaux (ce que nous avons déjà constaté ci-dessus), et que
  • E et B hont en tout point une phase identique (par exemple, passages à zéro, maxima...), comme le montre le graphique du chapitre 1, section ondes électromagnétiques.