Supplément 1.2: Résolution des équations de Maxwell pour les ondes électromagnétiques (3/3)
Ondes planes monochromatiques cont.
Les ondes se propageant dans des directions arbitraires peuvent être obtenues en convertissant le nombre d'onde k en un vecteur ayant la direction de l'onde qui se propage, . Il s'agit du vecteur d'onde , avec .
TLe champ électrique et magnétique des ondes se propageant dans une direction donnée par l'orientation de est alors :
Quelle relation existe-t-il entre and ? Elles sont reliées entre elles dans la troisième et la quatrième équation de Maxwell. Par exemple, la troisième équation se lit comme suit :
Nous choisissons une onde électromagnétique se propageant dans la direction x. Les vecteurs de champ étant orthogonaux à x, ils se réduisent en coordonnées cartésiennes à :
Avec ces vecteurs, la troisième équation de Maxwell devient :
(la composante x disparaît puisque Bx=0).
Pour résoudre la composante y, nous choisissons un champ électrique sinusoïdal Ez:
Avec la dérivée partielle par rapport à x, , on obtient pour la composante y du champ magnétique :
De la même manière, la résolution de la composante z de l'équation de Maxwell donne :
Les deux équations peuvent être combinées en une équation vectorielle :
où est à nouveau un vecteur unitaire pointant dans la direction de la propagation de l'onde. Les relations prouvent que
- et et la direction de propagation de l'onde sont tous orthogonaux (ce que nous avons déjà constaté ci-dessus), et que
- et hont en tout point une phase identique (par exemple, passages à zéro, maxima...), comme le montre le graphique du chapitre 1, section ondes électromagnétiques.