Supplément 1.3: La vitesse des ondes électromagnétiques
La vitesse de phase des ondes monochromatiques
La vitesse d'une onde monochromatique peut être facilement calculée. Nous considérons le champ électrique d'une onde se déplaçant dans la direction du vecteur d'onde :
La vitesse de l'onde est obtenue en fixant
c'est-à-dire en regardant les positions à des instants t d'une valeur fixe du champ. Puisque dans le cas des ondes planes, ceci est équivalent à un argument constant de la fonction sinus :
La vitesse est calculée en différenciant en fonction de t:
Il s'agit de la vitesse de phase c de l'onde. Dans le cas des ondes électromagnétiques, il s'agit de la vitesse de la lumière. Avec et on obtient le résultat suivant :
Nous pouvons en savoir plus sur la dépendance de la vitesse de la lumière par rapport aux paramètres électriques et magnétiques en résolvant l'équation d'onde
avec
(l'utilisation des équations pour conduit à un résultat identique).
La seconde différenciation de en fonction de l'espace et du temps conduit à
et donc :
C'est la vitesse de la lumière dans le vide co, qui est une constante fondamentale en physique. Avec la permittivité du vide εo=8,854·10-12 A·s/(V·m) et la perméabilité du vide μo=1,256·10-6 V·s/(A·m) on obtient :
ou 300 000 km/s, approximativement.
La vitesse de la lumière c dans la matière est inférieure à la vitesse de la lumière dans le vide :
avec la permittivité relative εr et la perméabilité μr du matériau. Cette équation est appelée relation de Maxwell.. Pour les matériaux transparents, elle est de μr≈1. Pour l'eau et le verre aux fréquences de la lumière visible, elle est εr≈1,8 et 2,25, ce qui explique leur vitesse de lumière plus faible comme indiqué au chapitre 1, section ondes électromagnétiques à la page 2.
L'indice de réfraction n de la matière est donné par , et donc :
Avec ce résultat, les équations des ondes électromagnétiques sont :
Le carré de la vitesse de la lumière relie les dérivées spatiales et temporelles de second ordre des quantités de champ électrique et magnétique.