Supplément 1.3: La vitesse des ondes électromagnétiques

La vitesse de phase des ondes monochromatiques

La vitesse d'une onde monochromatique peut être facilement calculée. Nous considérons le champ électrique E d'une onde se déplaçant dans la direction du vecteur d'onde k :

E ( r ,t)= E o sin( k r ωt )

La vitesse de l'onde est obtenue en fixant

E ( r ,t)=const. ,

c'est-à-dire en regardant les positions r à des instants t d'une valeur fixe du champ. Puisque E o =const. dans le cas des ondes planes, ceci est équivalent à un argument constant de la fonction sinus :

k r ωt=const.

La vitesse est calculée en différenciant | r |=r en fonction de t:

dr dt = ω k

Il s'agit de la vitesse de phase c de l'onde. Dans le cas des ondes électromagnétiques, il s'agit de la vitesse de la lumière. Avec ω=2πf et k= 2π /λ on obtient le résultat suivant :

c= ω k =fλ

Nous pouvons en savoir plus sur la dépendance de la vitesse de la lumière par rapport aux paramètres électriques et magnétiques en résolvant l'équation d'onde

Δ E = ε o μ o 2 E t 2

avec                                 E ( r ,t)= E o sin( k r ωt )

(l'utilisation des équations pour B conduit à un résultat identique).

Équations

La seconde différenciation de E en fonction de l'espace et du temps conduit à

k 2 E = ε o μ o ω 2 E

et donc :                             c o = ω k = 1 ε o μ o

C'est la vitesse de la lumière dans le vide co, qui est une constante fondamentale en physique. Avec la permittivité du vide εo=8,854·10-12 A·s/(V·m) et la perméabilité du vide μo=1,256·10-6 V·s/(A·m) on obtient :

co=2,998·108 m/s

ou 300 000 km/s, approximativement.

La vitesse de la lumière c dans la matière est inférieure à la vitesse de la lumière dans le vide :

c= ω k = 1 εμ = 1 ε r ε o μ r μ o ,

avec la permittivité relative εr et la perméabilité μr du matériau. Cette équation est appelée relation de Maxwell.. Pour les matériaux transparents, elle est de μr≈1. Pour l'eau et le verre aux fréquences de la lumière visible, elle est εr≈1,8 et 2,25, ce qui explique leur vitesse de lumière plus faible comme indiqué au chapitre 1, section ondes électromagnétiques à la page 2.

L'indice de réfraction n de la matière est donné par n= ε r μ r , et donc :

c= c o n

Avec ce résultat, les équations des ondes électromagnétiques sont :

Δ E = 1 c 2 2 E t 2            Δ B = 1 c 2 2 B t 2

Le carré de la vitesse de la lumière relie les dérivées spatiales et temporelles de second ordre des quantités de champ électrique et magnétique.