Ergänzung 1.3: Die Geschwindigkeit elektromagnetischer Wellen
Die Phasengeschwindigkeit monochromatischer Wellen
Die Geschwindigkeit einer monochromatischen Welle lässt sich leicht ermitteln. Wir betrachten das elektrische Feld einer Welle, die sich in Richtung des Wellenvektors ausbreitet:
Die Geschwindigkeit folgt aus der Bedingung
d.h. wir betrachten den Ort als Funktion der Zeit t, an dem das Feld einen konstanten Wert einnimmt. Wegen bei ebenen Wellen ist dies gleichbedeutend mit einem konstanten Argument der Sinusfunktion:
Die Geschwindigkeit ergibt sich dann durch Ableiten von nach t:
Dies ist die Phasengeschwindigkeit c der Welle, im Fall elektromagnetischer Wellen die Lichtgeschwindigkeit. Mit und ergibt sich:
Wir können etwas über den Zusammenhang zwischen der Lichtgeschwindigkeit und elektrischen bzw. magnetischen Größen lernen, wenn wir die Wellengleichung
mit dem Ansatz
lösen (die Gleichungen für würde das gleiche Ergebnis liefern).
Zweimaliges Ableiten von nach Raum und Zeit ergibt
und daher:
Dies ist die Vakuumlichtgeschwindigkeit co, eine fundamentale Konstante der Physik. Mit der Dielektrizitätskonstante εo=8.854·10-12 A·s/(V·m) und der magnetischen Feldkonstante μo=1.256·10-6 V·s/(A·m) erhät man:
oder circa 300 000 km/s.
Die Lichtgeschwindigkeit c in Materie ist kleiner als die Vakuumlicht- geschwindigkeit:
mit der relativen Dielektrizitätszahl εr und Permeabilitätszahl μr der Materie. Dies ist die Maxwell-Beziehung. Für transparente Stoffe ist μr≈1. Für Wasser und Glas ist εr≈1,8 und 2,25 bei sichtbaren Lichtwellenlängen, was die geringere Lichtgeschwindigkeit in diesen Stoffen erklärt, wie auf Seite 2 des Abschnitts elektromagnetische Wellen in Kapitel 1 schon genannt.
Die Brechzahl n der Materie ist durch gegeben, und daher gilt:
Mit diesem Ergebnis können die Wellengleichungen folgendermaßen geschrieben werden:
Das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit verknüpft somit die zweiten räumlichen und zeitlichen Ableitungen des elektrischen und des magnetischen Felds.