Ergänzung 1.3: Die Geschwindigkeit elektromagnetischer Wellen

Die Phasengeschwindigkeit monochromatischer Wellen

Die Geschwindigkeit einer monochromatischen Welle lässt sich leicht ermitteln. Wir betrachten das elektrische Feld E einer Welle, die sich in Richtung des Wellenvektors k ausbreitet:

E ( r ,t)= E o sin( k r ωt )

Die Geschwindigkeit folgt aus der Bedingung

E ( r ,t)=const. ,

d.h. wir betrachten den Ort r als Funktion der Zeit t, an dem das Feld einen konstanten Wert einnimmt. Wegen E o =const. bei ebenen Wellen ist dies gleichbedeutend mit einem konstanten Argument der Sinusfunktion:

k r ωt=const.

Die Geschwindigkeit ergibt sich dann durch Ableiten von | r |=r nach t:

dr dt = ω k

Dies ist die Phasengeschwindigkeit c der Welle, im Fall elektromagnetischer Wellen die Lichtgeschwindigkeit. Mit ω=2πf und k= 2π /λ ergibt sich:

c= ω k =fλ

Wir können etwas über den Zusammenhang zwischen der Lichtgeschwindigkeit und elektrischen bzw. magnetischen Größen lernen, wenn wir die Wellengleichung

Δ E = ε o μ o 2 E t 2

mit dem Ansatz              E ( r ,t)= E o sin( k r ωt )

lösen (die Gleichungen für B würde das gleiche Ergebnis liefern).

 

Zweimaliges Ableiten von E nach Raum und Zeit ergibt

k 2 E = ε o μ o ω 2 E

und daher:                             c o = ω k = 1 ε o μ o

Dies ist die Vakuumlichtgeschwindigkeit co, eine fundamentale Konstante der Physik. Mit der Dielektrizitätskonstante εo=8.854·10-12 A·s/(V·m) und der magnetischen Feldkonstante μo=1.256·10-6 V·s/(A·m) erhät man:

co=2,998·108 m/s

oder circa 300 000 km/s.

Die Lichtgeschwindigkeit c in Materie ist kleiner als die Vakuumlicht- geschwindigkeit:

c= ω k = 1 εμ = 1 ε r ε o μ r μ o ,

mit der relativen Dielektrizitätszahl εr und Permeabilitätszahl μr der Materie. Dies ist die Maxwell-Beziehung. Für transparente Stoffe ist μr≈1. Für Wasser und Glas ist εr≈1,8 und 2,25 bei sichtbaren Lichtwellenlängen, was die geringere Lichtgeschwindigkeit in diesen Stoffen erklärt, wie auf Seite 2 des Abschnitts elektromagnetische Wellen in Kapitel 1 schon genannt.

Die Brechzahl n der Materie ist durch n= ε r μ r gegeben, und daher gilt:

c= c o n

Mit diesem Ergebnis können die Wellengleichungen folgendermaßen geschrieben werden:

Δ E = 1 c 2 2 E t 2            Δ B = 1 c 2 2 B t 2

Das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit verknüpft somit die zweiten räumlichen und zeitlichen Ableitungen des elektrischen und des magnetischen Felds.