Ergänzung 1.5: Masse, Energie und Impuls von Teilchen und Photonen (1/2)

Die Masse

Man muss zwischen einer Ruhemasse und einer bewegten Masse von Teilchen unterscheiden. Die Ruhemasse entspricht der Masse eines unbewegten Teilchens, wir bezeichnen sie mit dem Symbol m_o. Solange die Geschwindigkeit eines Teilchens sehr viel kleiner als die Licht- geschwindigkeit ist (was für Gegenstände aus unserem Alltag immer so sein wird), ist seine Masse praktisch gleich der Ruhemasse.

Nähert sich die Geschwindigkeit v jedoch der Lichtgeschwindigkeit c an, so wächst die Masse unbegrenzt an und würde bei Lichtgeschwindigkeit unendlich groß werden. Nach der speziellen Relativitätstheorie gilt für diese bewegte Masse:

m = \frac{m_{o}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}

Mit $v \to c$ geht der Nenner gegen 0 und daher $m \to \infty$ . Die mit anwachsender Geschwindigkeit größer werdende Masse des Teilchens wird als relativistische Massenzunahme bezeichnet.

Photonen können nicht in Ruhe sein, sondern bewegen sich mit Licht- geschwindigkeit. Daher ist ihre Ruhemasse gleich Null, und es tritt keine relativistische Massenzunahme auf. Offenbar haben Photonen gar keine Masse, was sie von anderen Teilchen deutlich unterscheidet!

Der Impuls von Teilchen

Der Impuls eines Teilchens ist von Masse und Geschwindigkeit abhängig:

p = m v

Wächst die Geschwindigkeit des Teilchens an, so gilt diese Gleichung weiterhin, auch wenn die Geschwindigkeit nicht mehr allzu weit von der Lichtgeschwindigkeit entfernt ist. Allerdings muss man neben der Geschwindigkeit auch die relativistische Massenzunahme berücksichtigen:

p = m v = \frac{m_{o} v}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}

Die Größe m_o ist wieder die Ruhemasse, die das Teilchen in Ruhe besitzt.

Die Energie von Teilchen

Die kinetische Energie eines Teilchens mit geringer Geschwindigkeit ist:

E = \frac{1}{2} m v^{2}

Wächst die Geschwindigkeit an und ist nicht mehr weit von der Lichtgeschwindigkeit entfernt, so gilt diese Gleichung nicht mehr. Energie und Masse müssen dann als zwei Seiten der gleichen Sache angesehen werden; diese Energie-Masse-Äquivalenz wird durch die folgende Gleichung der speziellen Relativitätstheorie dargestellt:

E = m c^{2}

Hier ist m wieder die relativistische Masse, und es ist daher:

E = m c^{2} = \frac{m_{o} c^{2}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}

Die relativistische Energie eines Teilchens enthält demnach auch eine Ruheenergie, denn mit v=0 folgt E=m_oc². Dieser Teil der Energie ergibt sich aus der Ruhemasse.

Die Energie und ebenso der Impuls eines Teilchens wird für eine Geschwindigkeit v=c unendlich groß. Unendlich große Energien und Impulse lassen sich jedoch auf ein Teilchen nicht übertragen. Teilchen mit von Null verschiedener Ruhemasse können sich daher nicht mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, was sie von Photonen deutlich unterscheidet!

Der Wurzelterm kann in eine Potenzreihe entwickelt werden: