Ergänzung 1.2: Maxwell-Gleichungen und elektromagnetische Wellen (3/3)
Ebene monochromatische Wellen
Wellen, die sich in beliebige Richtungen ausbreiten, lassen sich aufschreiben, wenn man die Wellenzahl k durch einen Vektor ersetzt, der in Ausbreitungsrichtung weist, . Dies ist der Wellenvektor , mit .
Das elektrische und magnetische Feld von Wellen, die in Richtung des Wellenvektors fortschreiten, ist dann:
Wie hängen nun und voneinander ab? Dies folgt aus der dritten und vierten Maxwell-Gleichung. Beispielsweise ist die dritte Gleichung:
Die Ausbreitung soll in Richtung x sein. Da dann die Feldvektoren senkrecht zu x orientiert sind, reduzieren sich die Felder in karthesischen Koordinaten auf:
Mit diesen Vektoren wird aus der dritten Maxwell-Gleichung:
(die x-Komponenten verschwinden wegen Bx=0).
Um die y-Komponente zu lösen, wählen wir ein sinusförmiges elektrisches Feld Ez:
Mit der partiellen Ableitung nach x, , folgt für die y-Komponente des Magnetfelds:
In gleicher Weise erhält man durch Lösen der z-Komponente der Maxwell-Gleichung:
Beide Komponentengleichungen können als eine Vektorgleichung geschrieben werden:
wobei wiederum ein Einheitsvektor in Richtung der Wellenausbreitung ist. Die Beziehungen beweisen, dass
- und und die Ausbreitungsrichtung der Welle orthogonal zueinander stehen (was weiter oben schon gezeigt worden ist), und
- und in jedem Raumpunkt den gleichen Phasenwert (z.B. Nulldurchgang, Maximum...) aufweisen, wie es die Abbildung in Kapitel 1, Abschnitt elektromagnetische Wellen zeigt.