Ergänzung 1.2: Maxwell-Gleichungen und elektromagnetische Wellen    (3/3)

Ebene monochromatische Wellen     

Wellen, die sich in beliebige Richtungen a ausbreiten, lassen sich aufschreiben, wenn man die Wellenzahl k durch einen Vektor ersetzt, der in Ausbreitungsrichtung weist, k a . Dies ist der Wellenvektor k , mit | k |= k=2π /λ .

Das elektrische und magnetische Feld von Wellen, die in Richtung des Wellenvektors k  fortschreiten, ist dann:

E ( r ,t)= E o sin( k r ωt )          B ( r ,t)= B o sin( k r ωt )

Wie hängen nun E und B voneinander ab? Dies folgt aus der dritten und vierten Maxwell-Gleichung. Beispielsweise ist die dritte Gleichung:

× E = B t

Die Ausbreitung soll in Richtung x sein. Da dann die Feldvektoren senkrecht zu x orientiert sind, reduzieren sich die Felder in karthesischen Koordinaten auf:

E =( 0, E y , E z )            B =( 0, B y , B z )

Mit diesen Vektoren wird aus der dritten Maxwell-Gleichung:

y-Komponente:            E z x = B y t
z-Komponente:            E y x = B z t

(die x-Komponenten verschwinden wegen Bx=0).

Aufgabe 2: Die dritte Maxwell-Gleichung in kartesischen Koordinaten

 

Um die y-Komponente zu lösen, wählen wir ein sinusförmiges elektrisches Feld Ez:

E z = E z,o sin( kxωt )

Mit der partiellen Ableitung nach x, E z x , folgt für die y-Komponente des Magnetfelds:

B y = E z x dt = k ω E z

In gleicher Weise erhält man durch Lösen der z-Komponente der Maxwell-Gleichung:

B z = k ω E y

Beide Komponentengleichungen können als eine Vektorgleichung geschrieben werden:

B = k ω a × E

wobei a wiederum ein Einheitsvektor in Richtung der Wellenausbreitung ist. Die Beziehungen beweisen, dass

  • E und B und die Ausbreitungsrichtung der Welle orthogonal zueinander stehen (was weiter oben schon gezeigt worden ist), und
  • E und B in jedem Raumpunkt den gleichen Phasenwert (z.B. Nulldurchgang, Maximum...) aufweisen, wie es die Abbildung in Kapitel 1, Abschnitt elektromagnetische Wellen zeigt.