Ergänzung 2.6: Differenziale und Ableitungen   (2/4)

Die Temperatur als Beispiel einer Funktion mehrerer Variabler

Wir haben auf der vorherigen Seite bereits festgestellt, dass Temperaturen sowohl eine Funktion der Raumkoordinaten $x$, $y$ und $z$ und darüber hinaus auch eine Funktion der Zeit $t$ sind:

Für das Differenzial der Temperatur gilt daher:

Um Gleichungen übersichtlicher schreiben zu können, fassen wir die Raumkoordinaten zum Ortsvektor

zusammen. Die Temperatur ist dann:

Wir können auch die räumlichen Differenziale zu einem differenziellen Ortsvektor

und die Ableitungen zum Vektor der räumlichen Ableitung

zusammenfassen; das $\nabla$-Symbol ist der Nabla-Operator.

Das Differenzial der Temperatur schreibt sich mit diesen Vektoren:

wobei das Multiplikationszeichen $\cdot$ das Skalarprodukt der beiden Vektoren bezeichnet. Die räumliche Ableitung der Temperatur $\nabla T$ ist der Temperaturgradient

Wie sind die beiden ganz äquivalenten Darstellungen für das Differenzial

zu verstehen? Wie lässt sich praktisch damit arbeiten?

• Aus einer gegebenen Verteilung $T=f(x,y,z,t)=f\left(\overrightarrow{r},t\right)$ der Temperatur in Raum und Zeit, die etwa durch Messdaten oder durch ein numerisches Modell bekannt ist, können wir für einen ausgewählten Raumpunkt $\overrightarrow{r}\text{'}=\left(x\text{'},y\text{'},z\text{'}\right)$ und Zeitpunkt $t\text{'}$ einen Temperaturwert $T(\overrightarrow{r}\text{'},t\text{'})$ berechnen.
• Aus der Temperaturverteilung können wir auch die partiellen Ableitungen nach den vier Variablen
  $\frac{\partial T}{\partial x}\text{<mo>,</mo>}\frac{\partial T}{\partial y}\text{<mo>,</mo>}\frac{\partial T}{\partial z}\text{<mo>,</mo>}\frac{\partial T}{\partial t}$         bzw.         $\nabla T,\frac{\partial T}{\partial t}$
  berechnen. Aus diesen Funktionen lassen sich für einen festgelegten Raum- und Zeitpunkt $(\overrightarrow{r}\text{'},t\text{'})$ die speziellen Werte der partiellen Ableitungen bestimmen. Diese Werte entsprechen den bei kleinen Ortsänderungen bzw. kleinen Änderung der Zeit zu erwartenden Temperaturänderungen.
• Die als Faktoren auftretenden Diffenziale $\text{d}x$, $\text{d}y$, $\text{d}z$ bzw. $\text{d}\overrightarrow{r}$ sowie $\text{d}t$ stellen solche Orts- und Zeitänderungen dar. Sie erlauben es (in infinitesimalen Grenzen), sich vom Ort $\overrightarrow{r}$ um eine kleine Strecke $\text{d}\overrightarrow{r}$ zu entfernen, wobei die kurze Zeit $\text{d}t$ verstreicht.
• Nun ist alles bekannt, um das Differenzial $\text{d}T$, d.h. die zu erwartende Änderung der Temperatur zu bestimmen. Die Temperatur am neuen Ort und zur späteren Zeit ist dann:
  $T(x\text{'}+\text{d}x,y\text{'}+\text{d}y,z\text{'}+\text{d}z,t\text{'}+\text{d}t)=T(x\text{'},y\text{'},z\text{'},t\text{'})+\text{d}T$
  bzw.                  $T(\overrightarrow{r}\text{'}+\text{d}\overrightarrow{r},t\text{'}+\text{d}t)=T(\overrightarrow{r}\text{'},t\text{'})+\text{d}T$
  
  Aufgabe 4 behandelt dies mit einem Zahlenbeispiel.