Supplément 2.3: La loi de Stefan-Boltzmann (2/2)

Dérivation de l'électrodynamique et de la thermodynamique

L'électrodynamique théorique montre (mot-clé : tenseur énergie-momentum du champ électromagnétique) que les ondes électromagnétiques génèrent une pression de radiation qui agit comme une force sur une surface éclairée. Cela a déjà été prouvé expérimentalement. Cette pression est directement liée à l'intensité de l'illumination sur la surface, et donc au vecteur de Poynting $⟨ S ⟩$ calculé dans le Supplément 1.4:

p = ⟨ S ⟩ / c

où $c$ est la vitesse de la lumière. En outre, dans le Supplément 1.4, il a été montré que le vecteur de Poynting peut être dérivé en multipliant la densité d'énergie $U$ par $c$ , ce qui donne :

⟨ S ⟩ = c U

La pression de radiation et la densité d'énergie sont donc étroitement liées. Nous considérons maintenant des ondes électromagnétiques en équilibre thermique dans un espace vide. Dans ces conditions, la pression de radiation à l'intérieur du vide peut être caractérisée :

p = \frac{1}{3} U

Cette relation est l'équation d'état du rayonnement de la cavité..

La densité d'énergie dépend de la température, mais pas du volume du vide ; une variation isotherme du volume n'a aucune influence sur le rayonnement de la cavité. Il en va de même pour la pression de radiation. À cet égard, l'équation d'état du rayonnement de la cavité diffère de l'équation d'état d'un gaz idéal $p V = R T$ , où les conditions dépendent du volume ainsi que de la pression et de la température ; $R$ est la constante universelle des gaz. Cela dit, l'équation d'état du rayonnement de la cavité soutient le modèle photonique de la lumière avec le concept d'un gaz de photons dans le vide, bien que, contrairement aux particules du gaz idéal, le nombre de photons puisse changer en raison de l'absorption et de l'émission.

Selon $E = U V$ , l'énergie totale $E$ dans le vide dépend de la densité d'énergie et du volume. Elle correspond à l'énergie interne du vide, dont la variation infinitésimale peut être dérivée de $U$ et $V$ :

d E = V d U + U d V

Selon la première loi de la thermodynamique, l'énergie interne augmente avec la chaleur fournie $δ q$ et diminue en effectuant un travail par l'augmentation du volume $p d V$ :

d E = δ q - p d V

Equations ↓

En mettant en équation les deux relations pour l'énergie interne, en remplaçant la pression par la densité d'énergie selon l'équation du rayonnement de la cavité mentionnée ci-dessus et en réécrivant, on obtient :

δ q = \frac{4}{3} U d V + V d U

L'entropie dans la cavité change à la suite d'un changement de chaleur selon la formule

d S = \frac{δ q}{T} = \frac{4}{3} \frac{U}{T} d V + \frac{V}{T} \frac{\partial U}{\partial T} d T

En revanche, l'entropie s'applique de la manière suivante lorsque le volume et la température changent :

d S = \frac{\partial S}{\partial V} d V + \frac{\partial S}{\partial T} d T

L'entropie étant une grandeur continue et différentiable (et donc une fonction d'état), les dérivées des coefficients sont égales :

\frac{\partial}{\partial T} \frac{\partial S}{\partial V} = \frac{\partial}{\partial V} \frac{\partial S}{\partial T}

\frac{\partial^{2} S}{\partial T \partial V} = \frac{\partial^{2} S}{\partial V \partial T}

c'est-à-dire que l'ordre des dérivations n'est pas pertinent. C'est le cas ici :

\frac{4}{3} \frac{\partial}{\partial T} \frac{U}{T} = \frac{\partial}{\partial V} (\frac{V}{T} \frac{\partial U}{\partial T})

En poursuivant la dérivation, on obtient

\frac{4}{3} (\frac{\partial U}{\partial T} - \frac{U}{T^{2}}) = \frac{1}{T} \frac{\partial U}{\partial T}

Après raccourcissement et réécriture, vous obtenez l'équation suivante :

\frac{1}{U} d U = \frac{4}{T} d T

En intégrant les côtés gauche et droit dans les limites respectives de $U$ et $T$ , nous obtenons la loi de Stefan-Boltzmann :

U = const . \cdot T^{4}

Le coefficient du côté droit résultant de l'intégration ne peut pas être déterminé par la physique classique ; comme nous l'avons montré à la page précédente, cela nécessite la loi de Planck sur le rayonnement et donc la théorie quantique.

Les bases des différentielles et dérivées des fonctions de plusieurs variables utilisées sur cette page se trouvent dans le Supplément 2.6.

Des informations sur les variables et fonctions thermodynamiques ainsi que sur la signification des symboles « $d$ » et « $δ$ » peuvent être trouvées dans le Supplément 2.7.

Le spectre de la Terre

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