Supplément 2.3: La loi de Stefan-Boltzmann (1/2)

Dérivation de la loi de rayonnement de Planck

La densité d'énergie U

La distribution spectrale de la densité d'énergie du champ de rayonnement pour les corps noirs en fonction de la fréquence est :

u_{f} = \frac{8 π f^{2}}{c^{3}} \frac{h f}{exp {h f / k T} - 1}

Elle est intégrée sur toutes les fréquences pour obtenir la densité d'énergie intégrée spectralement $U$ :

U = \int_{f = 0}^{\infty} u_{f} d f

what means:

U = \frac{8 π h}{c^{3}} \int_{f = 0}^{\infty} \frac{f^{3}}{exp {h f / k T} - 1} d f

L'intégration devient plus claire en introduisant une nouvelle variable :

h f / k T = x

Avec les remplaçants

f = \frac{k T}{h} x

and

d f = \frac{k T}{h} d x

que l'on a :

U = \frac{8 π k^{4}}{c^{3} h^{3}} T^{4} \int_{x = 0}^{\infty} \frac{x^{3}}{e^{x} - 1} d x

L'intégrale ne peut pas être résolue facilement. Elle devient :

\int_{x = 0}^{\infty} \frac{x^{3}}{e^{x} - 1} d x = \frac{π^{4}}{15}

...pour les mathématiciens ↓

En théorie des fonctions, il est démontré que cela résulte de la fonction zêta de Riemann $ς (ν)$ et de la fonction gamma $Γ (ν)$ avec l'argument $ν = 4$ . Voir par exemple I.S. Gradshteyn & I.M. Ryzhik, Table of Integrals, Series and Products (Academic Press), section 3.4.1.1, équation 1:

\int_{x = 0}^{\infty} \frac{x^{ν - 1}}{e^{x} - 1} d x = Γ (ν) ς (ν) with Re ν > 1

avec la fonction zêta de Riemann

ς (ν) = \sum_{n = 1}^{\infty} n^{- ν} avec Re ν > 1

et la fonction gamma

Γ (ν) = (ν - 1)! avec ν \in ℕ

En particulier, il y a :

ς (4) = 1 + \frac{1}{2^{4}} + \frac{1}{3^{4}} + ... = \frac{π^{4}}{90}

Γ (4) = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

Il s'ensuit ce qui suit :

U = \frac{8 π^{5} k^{4}}{15 c^{3} h^{3}} T^{4}

L'émission spécifique M

La relation entre l'énergie et l'émission spécifique d'un champ de rayonnement isotrope (ce qui signifie qu'aucune direction de propagation n'est privilégiée) se lit comme suit :