Supplément 1.2: Résolution des équations de Maxwell pour les ondes électromagnétiques    (2/3)

Résolution de l'équation des ondes

Nous avons dérivé les équations d'onde qui caractérisent les champs électromagnétiques dans le vide. Elles combinent les dérivées secondes spatiales et temporelles du champ électrique et magnétique :

Δ E → = ε o μ o ∂ 2 E → ∂ t 2            Δ B → = ε o μ o ∂ 2 B → ∂ t 2

Nous examinons le vecteur champ électrique E → de l'onde à une position r → =( x,y,z ) dans l'espace. On suppose que l'onde se propage dans une direction donnée par le vecteur unitaire a → . L'équation d'onde pour le champ électrique est alors résolue par l'équation suivante :

E → = E → o  f( a → ⋅ r → − 1 ε o μ o t )

où E → o est un vecteur constant ayant la même orientation que E → et f est une fonction différentiable en second lieu.

Avec la première équation de Maxwell pour la divergence du champ électrique, il s'ensuit :

∇⋅ E → = a → ⋅ E → o   ∂ ∂r f( a → ⋅ r → − 1 ε o μ o t )=0

et donc :                          a → ⋅ E → o =0

Le produit scalaire de deux vecteurs disparaît si les vecteurs sont orthogonaux entre eux. Par conséquent, E → o et E → sont orthogonaux à la direction de déplacement de l'onde.

Équations ↓

Dans la troisième équation de Maxwell

∇× E → =− ∂ B → ∂t

le vecteur ∇× E → est orthogonal à E → . Comme la dérivée temporelle ne modifie pas l'orientation de B → , il est évident que E → et B → sont orthogonaux l'un à l'autre, et qu'ils sont tous deux orthogonaux à la direction dans laquelle l'onde se déplace : les ondes électromagnétiques sont des ondes transversales.

Ondes planes monochromatiques

Dans le chapitre 1, section ondes électromagnétiques à la page 2, le champ E et le champ B d'une onde monochromatique plane se propageant dans la directionx (en ignorant le caractère vectoriel de E → et B → ) s'écrivent comme suit :

E(x,t)= E o sin2π( x λ − t T )          B(x,t)= B o sin2π( x λ − t T )

Une autre formulation de ces équations utilise

  • la fréquence circulaire ω, avec ω=2πf= 2π /T , et
  • le nombre d'onde k, avec k= 2π /λ .

Avec ces quantités, les équations ci-dessus deviennent :

E(x,t)= E o sin( kx−ωt )          B(x,t)= B o sin( kx−ωt )

Nous utiliserons cette forme plus loin dans les suppléments.