Ergänzung 1.2: Maxwell-Gleichungen und elektromagnetische Wellen    (2/3)

Lösung der Wellengleichung

Wir haben die Wellengleichungen abgeleitet, welche die elektromagnetischen Felder im Vakuum charakterisieren. Sie verknüpfen die zweiten räumlichen und zeitlichen Ableitungen des elektrischen und magnetischen Felds:

Δ E → = ε o μ o ∂ 2 E → ∂ t 2            Δ B → = ε o μ o ∂ 2 B → ∂ t 2

Wir betrachten den Vektor des elektrischen Felds E → der Welle am Ort r → =( x,y,z ) im Raum. Die Welle soll sich in eine Richtung ausbreiten, die durch den Einheitsvektor a → gegeben ist. Die Wellengleichung für das elektrische Feld wird dann durch folgenden Ansatz gelöst:

E → = E → o  f( a → ⋅ r → − 1 ε o μ o t )

wobei E → o ein konstanter Vektor mit der gleichen Richtung wie E → ist. Die Größe f ist eine zweifach differenzierbare Funktion.

Mit der ersten Maxwell-Gleichung für die Divergenz des elektrischen Felds folgt:

∇⋅ E → = a → ⋅ E → o   ∂ ∂r f( a → ⋅ r → − 1 ε o μ o t )=0

und daher gilt:                          a → ⋅ E → o =0

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist Null wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Daher steht E → o und also auch E → senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung der Welle.

 

In der dritten Maxwell-Gleichung

∇× E → =− ∂ B → ∂t

steht der Vektor ∇× E → senkrecht auf E → . Da die Zeitableitung die Richtung von B → nicht ändert, folgt unmittelbar, dass E → und B → senkrecht aufeinander stehen, und beide stehen senkrecht zur Richtung, in der sich die Welle ausbreitet: elektromagnetische Wellen sind transversal.

Ebene monochromatische Wellen

In Kapitel 1, Seite 2 des Abschnitts Elektromagnetische Wellen, haben wir das E-Feld und das B-Feld einer elektromagnetischen Welle, die sich in Richtung x ausbreitet, folgendermaßen geschrieben:

E(x,t)= E o sin2π( x λ − t T )          B(x,t)= B o sin2π( x λ − t T ) ,

wobei die Vektoreigenschaften von E → und B → vernachlässigt worden sind. Alternativ kann man diese Gleichungen auch mit

  • der Kreisfrequenz ω, mit ω=2πf= 2π /T , und
  • der Wellenzahl k, mit k= 2π /λ

darstellen. Mit diesen Größen wird:

E(x,t)= E o sin( kx−ωt )          B(x,t)= B o sin( kx−ωt )

Diese Form soll im Weiteren in den Ergänzungen benutzt werden.