Ergänzung 1.2: Maxwell-Gleichungen und elektromagnetische Wellen (1/3)

Die Wellengleichung

Die Maxwell-Gleichungen sind, wie in Ergänzung 1.1 dargestellt:

\nabla \cdot \vec{E} = \frac{ρ}{ε}

\nabla \cdot \vec{B} = 0

\nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

\nabla \times \vec{B} = μ \vec{j} + ε μ \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

Das Vakuum ist frei von elektrischen Ladungen und Strömen, daher gibt es keine Ladungsdichten ρ und Stromdichten $\vec{j}$ ; die relative Dielektrizitätszahl ε_r und die Permeabilitätszahl μ_r sind Eins:

ρ=0

\vec{j} = 0

ε_r=μ_r=1

Dann reduzieren sich die Maxwell-Gleichungen auf die folgende sehr symmetrische Form:

\nabla \cdot \vec{E} = 0

\nabla \cdot \vec{B} = 0

\nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

\nabla \times \vec{B} = ε_{o} μ_{o} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

Berechnet man die Rotation der dritten Gleichung und vertauscht dann die Zeitableitung mit dem ∇-Operator (was in Fällen stetiger Felder erlaubt ist),

\nabla \times (\nabla \times \vec{E}) = - \nabla \times \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = - \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \vec{B})

und setzt das Ergebnis in die vierte Gleichung ein, so folgt:

\nabla \times (\nabla \times \vec{E}) = - ε_{o} μ_{o} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}}

In der Vektoranalysis wird gezeigt, dass der folgende Zusammenhang gilt:

\nabla \times (\nabla \times \vec{E}) = \nabla (\nabla \cdot \vec{E}) - (\nabla \cdot \nabla) \vec{E}

Aus der ersten Maxwell-Gleichung, $\nabla \cdot \vec{E} = 0$ , und mit dem Laplace-Operator (oder: Delta-Operator) $Δ = \nabla \cdot \nabla$ , der die zweite räumliche Ableitung darstellt, folgt für das elektrische Feld:

Δ \vec{E} = ε_{o} μ_{o} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}}

In gleicher Weise kann man die Rotation der vierten Gleichung berechnen, das Ergebnis in die dritte Gleichung einsetzen und die erste Gleichung berücksichtigen. Dies führt dann zu einer entsprechenden Gleichung für das Magnetfeld:

Δ \vec{B} = ε_{o} μ_{o} \frac{\partial^{2} \vec{B}}{\partial t^{2}}

Die beiden Gleichungen verknüpfen jeweils die zweiten räumlichen und zeitlichen Ableitungen des elektrischen und des magnetischen Felds. Sie stellen die Eigenschaften dieser Felder im Vakuum dar.

Mit anderen Worten gibt es elektrische und magnetische Felder auch in Abwesenheit elektrischer Ladungen und Ströme, sofern ihr raumzeitliches Verhalten diesen Gleichungen entspricht. Wir werden im Weiteren sehen, dass dies auf Felder zutrifft, die elektromagnetischen Wellen entsprechen. Daher werden die beiden Gleichungen als Wellengleichungen bezeichnet.

Aufgabe 1: Der Laplace-Operator ↓

Der Nabla-Operator, in kartesischen Koordinaten geschrieben,

\nabla = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})

entspricht der ersten räumlichen Ableitung. Das Skalarprodukt $\nabla \cdot \nabla = Δ$ ist dann die zweite räumliche Ableitung, der Laplace-Operator.

a) Bitte zeigen Sie, dass für den Laplace-Operator in kartesischen Koordinaten gilt:

Δ = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}

b) Bitte schreiben Sie die Wellengleichung des elektrischen Felds in Komponenten für kartesische Koordinaten.

Spektren der Erde

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