Wir betrachten das elektrische Feld
und das Magnetfeld
in Anwesenheit einer elektrischen Ladungsdichte ρ und Stromdichte
. Die elektrischen und magnetischen Eigenschaften eines Stoffs sind durch die Permittivität ε und die Permeabilität μ gegeben.
Es ist ε=εoεr und μ=μoμr,
mit der relativen Dielektrizitätszahl εr (auch als relative Permittivität bezeichnet)
und der Permeabilitätszahl μr des Stoffs,
und mit der Dielektrizitätskonstante εo
und der magnetischen Feldkonstante μo des Vakuums.
Einheiten von Größen, Werte von Konstanten
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Wir notieren die Einheiten dieser Größen sowie die Werte
der Dielektrizitätskonstante und der magnetischen Feldkonstante.
Im Weiteren wird dies öfter benötigt.
Die Materialeigenschaften und
sind dimensionslos; im Vakuum
sind ihre Werte gleich 1.
Die Maxwell-Gleichungen verknüpfen all diese Größen in einem System von vier Integralgleichungen oder
Differenzialgleichungen. Für ein intuitives Verständnis ist die Integraldarstellung einfacher, weshalb die
integrale Form im Physikunterricht bevorzugt wird. Die entsprechenden Differenzialgleichungen lauten:
d.h. die elektrische Ladung ist Quelle eines elektrischen Felds, und magnetische Ladungen kommen nicht vor;
d.h. ein zeitlich veränderliches Magnetfeld erzeugt Wirbel des elektrischen Felds, und ein zeitlich veränderliches elektrisches Feld
oder ein elektrischer Strom erzeugt einen Wirbel des Magnetfelds.
Die Maxwell-Gleichungen in integraler Form
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Bitte sehen Sie sich die Integralformen der Gleichungen in Ihrem Lehrbuch der Physik an. Sie werden als Satz von Gauß (einer für das elektrische Feld,
ein zweiter für das Magnetfeld), als Faradaysches Gesetz und als Ampèresches Gesetz bezeichnet. Vergleichen Sie bitte
die hier angegebenen Differenzialgleichungen mit den Integralgleichungen; welche Differenzial- und Integralgleichungen sind zueinander äquivalent?
Wenn Sie mehr darüber lernen möchten: Der Zusammenhang zwischen des Differenzial- und Integralgleichungen lässt sich durch
den Gaußschen Satz und den Stokesschen Satz herstellen. Sie finden sie ebenfalls in der unten angegebenen Literatur und in allen Lehrbüchern
zur Vektorrechnung. Wendet man den Gaußschen Satz und den Stokesschen Satz auf die Maxwell-Gleichungen in Integralform an,
so lassen sich die Differenzialformen unmittelbar herleiten.
Die Ausdrücke ∇⋅ und ∇× bezeichnen die Divergenz und die Rotation des nachfolgenden Vektors. Sie entsprechen
rämlichen Ableitungen des Vektors. Der Nabla-Operator (∇) ist ebenfalls ein Vektor. Die Symbole "⋅" und "×"
bezeichnen das skalare Produkt und das Vektorprodukt (oder: Kreuzprodukt) der beiden Vektoren, durch die sie verknüpft werden.
Beispielsweise schreiben sich der Nabla-Operator und das elektrische Feld in kartesischen (x,y,z) Koordinaten:
Dann wird die Divergenz und die Rotation von :
Hierzu sei auf Lehrbücher zur Vektorrechnung verwiesen, falls Sie mit diesen Vektoroperationen nicht vertraut sind,
zum Beispiel: Murray R. Spiegel, 1999: Vektoranalysis. Theorie und Anwendung (McGraw Hill, Hamburg) 225 S.
Aufgabe 1: Divergenz und Rotation eines Vektors
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Bitte zeigen Sie, dass die oben angegebenen Gleichungen für die Divergenz
und die Rotation
des elektrischen Feldvektors richtig sind. Sind diese Terme skalare Größen oder Vektoren?
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Aufgabe 2: Gradient eines Skalars
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Der Vollständigkeit wegen sei erwähnt, dass der ∇-Operator auch auf skalare Größen angewandt werden kann. Sei
eine skalare Funktion im Raum, z.B. das elektrische Potenzial. Der Ausdruck ∇φ bezeichnet dann die räumliche Ableitung von φ, was auch als
grad φ geschrieben werden kann. ∇φ ist ein Vektor, da der Vektor ∇ mit dem Skalar φ multipliziert wird.
Bitte schreiben Sie ∇φ komponentenweise in Richtung x, y, und z.
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