Supplement 2.6: Differentialen en afgeleiden (2/4)

De temperatuur als voorbeeld van een functie van meerdere variabelen

Op de vorige pagina hebben we al vastgesteld dat de temperatuur een functie is van de cartesische coördinaten $x$ , $y$ en $z$ en bovendien een functie van de tijd $t$ :

T = f (x, y, z, t)

Het temperatuurdifferentieel is dus:

d T = \frac{\partial T}{\partial x} d x + \frac{\partial T}{\partial y} d y + \frac{\partial T}{\partial z} d z + \frac{\partial T}{\partial t} d t

Om vergelijkingen op een eenvoudigere manier te schrijven, combineren we de cartesiaanse coöördinaten binnen de positievector

\vec{r} = (x, y, z)

De temperatuur wordt dan:

T = f (\vec{r}, t)

We combineren ook de cartesiaanse differentialen om een differentiële positievector te verkrijgen

d \vec{r} = (d x, d y, d z)

Dezelfde procedure geldt voor de afgeleiden door gebruik te maken van de ruimtelijke afgeleide vector

\nabla = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})

Het $\nabla$ symbool is de Nabla operator.

Het temperatuurdifferentieel met deze vectoren wordt dan als volgt geschreven:

d T = \frac{\partial T}{\partial t} d t + d \vec{r} \cdot \nabla T

waarbij het product symbool $\cdot$ staat voor het scalair product (of: dotproduct) van vectoren. De ruimtelijke afgeleide van de temperatuur $\nabla T$ is de temperatuurgradiënt

\nabla T = (\frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y}, \frac{\partial T}{\partial z})

Hoe kunnen we de twee equivalente voorstellingen

d T = \frac{\partial T}{\partial x} d x + \frac{\partial T}{\partial y} d y + \frac{\partial T}{\partial z} d z + \frac{\partial T}{\partial t} d t = \frac{\partial T}{\partial t} d t + d \vec{r} \cdot \nabla T

van het temperatuurdifferentieel begrijpen? Hoe kunnen ze in de praktijk worden gebracht?

Uitgaande van een gegeven temperatuurveld $T = f (x, y, z, t) = f (\vec{r}, t)$ in ruimte en tijd, dat bekend is van gemeten gegevens of van een numeriek model, kunnen we een temperatuurwaarde $T (\vec{r}', t')$ berekenen voor een geselecteerd punt in de ruimte $\vec{r}' = (x', y', z')$ en tijd $t'$ .
Van de temperatuur kunnen we ook de partiële afgeleiden met betrekking tot de vier variabelen berekenen
$\frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y}, \frac{\partial T}{\partial z}, \frac{\partial T}{\partial t}$ resp. $\nabla T, \frac{\partial T}{\partial t}$
Uit deze functies kunnen we specifieke waarden berekenen voor de partiële afgeleiden op een gekozen punt in ruimte en tijd $(\vec{r}', t')$ . Deze waarden informeren ons over temperatuurveranderingen op dit punt die we kunnen verwachten van kleine verplaatsingen en een klein tijdsverloop.
De differentialen $d x$ , $d y$ , $d z$ resp. $d \vec{r}$ zoals $d t$ die als de factoren fungeren, geven zulke veranderingen in ruimte en tijd weer. Zij staan kleine verplaatsingen toe (binnen infinitesimale grenzen) naar de plaats $\vec{r}$ by $d \vec{r}$ , terwijl de tijd $d t$ verstrijkt.
Nu is alles bekend om het differentieel $d T$ te bepalen, d.w.z. de verwachte verandering in temperatuur. De temperatuur op de nieuwe locatie en op het latere tijdstip is dan:
$T (x' + d x, y' + d y, z' + d z, t' + d t) = T (x', y', z', t') + d T$
resp. $T (\vec{r}' + d \vec{r}, t' + d t) = T (\vec{r}', t') + d T$

Dit wordt besproken in taak 4 met een numeriek voorbeeld.

Opdracht 4: temperatuur in ruimte en tijd ↓

De temperatuur kan worden gegeven door de functie

T = T_{o} + a x - b x y^{2} + c y z^{2} + d z t

mit:
$T_{o}$ =20°C
$a$ =0,3°C/m
$b$ =0,02°C/m³
$c$ =0,1°C/m³
$d$ =0,01°C/(m·s)

a) Wat is de temperatuur op de locatie $\vec{r}' = (x', y', z')$ = (10 m, 5 m, 2 m) op dat moment $t'$ = 100 s.

b) Bereken de partiële afgeleiden van de temperatuur. Welke waarden verkrijg je voor de plaats $\vec{r}'$ en op het tijdstip $t'$ ?

c) Bereken het temperatuurdifferentieel $d T$ voor de verplaatsing $d \vec{r} = (d x, d y, d z)$ = (1 m, 0,5 m, 0,5 m) met de tijd $d t$ = 2 s later.
(We behandelen de differentialen voor de benadering als eindige grootheden)

d) Welke waarden heeft de temperatuur $T (\vec{r}' + d \vec{r}, t' + d t)$ ?

Je vindt de oplossingen misschien op deze site.

Minder variabelen: momentopnamen en tijdreeksen ↓

Temperaturen hoeven niet altijd gegeven te worden als functie van vier variabelen.

Zonder de tijd als variabele heeft men $T = f (\vec{r})$ . Dit komt overeen met een beeld van het moment (of: een momentopname) van de temperatuurverdeling in de ruimte. Het temperatuurdifferentieel wordt:
$d T = \frac{\partial T}{\partial x} d x + \frac{\partial T}{\partial y} d y + \frac{\partial T}{\partial z} d z$
resp. $d T = d \vec{r} \cdot (\nabla T)$ .

Met betrekking tot slechts twee resp. één ruimtelijke variabele, wordt het een temperatuur een een oppervlak resp. langs een lijn.
Zonder de ruimtelijke variabele heeft men $T = f (t)$ . Dit komt overeen met een tijdreeks van de temperatuur op een vaste plaats. Het temperatuurdifferentieel wordt:
$d T = \frac{\partial T}{\partial t} d t$
Tijdreeksen worden uitgebreid besproken in een andere SEOS-tutorial.

Inzicht in Spectra van de Aarde

Supplement 2.6: Differentialen en afgeleiden (2/4)

De temperatuur als voorbeeld van een functie van meerdere variabelen