Supplement 2.6: Differentialen en afgeleiden (1/4)

Functies van één variabele

Bij analyse in scholen worden functies als

y = f (x)

behandeld, die afhankelijk zijn van slechts één variabele, namelijk $x$ . Voorbeelden:

y = x^{2}

y = sin x

y = e^{a x}

De afgeleiden van $x$ worden symbolisch aangeduid met $y'$ , met $f' (x)$ of met $\frac{d y}{d x}$ .

Volgens de derde optie is de afgeleide het differentiaalquotiënt van twee grootheden $d y$ en $d x$ . Deze grootheden worden differentialen genoemd, omdat ze oneindig kleine verschillen worden van eindig grote verschillen $Δ y = y_{2} - y_{1}$ en $Δ x = x_{2} - x_{1}$ door het passeren van een limiet

lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{d y}{d x}

Het worden zogenaamde infinitesimale verschillen.

Verschillen hoeven niet noodzakelijk delen van quotiënten te zijn, maar kunnen ook op zichzelf staan. Voorbeeld:

y = x^{2} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 2 x \Leftrightarrow d y = 2 x d x

Functie van meerdere variabelen

Natuurlijke processen zijn in de meeste gevallen afhankelijk van meerdere omgevingsvariabelen en dit gebeurt ook bij het wiskundig modelleren van dergelijke processen. Een voorbeeld: de temperatuur op een bepaalde locatie neemt verschillende waarden aan op andere locaties en is daarom een functie van de ruimtecoördinaten $x$ , $y$ en $z$ . Bovendien neemt de temperatuur verschillende waarden aan voor verschillende tijden $t$ . De temperatuur is dus een functie van vier variabelen: $T = f (x, y, z, t)$ .

Dit voorbeeld van veranderingen in temperatuur in ruimte en tijd zal hierna worden besproken om concreet het belang van differentialen en afgeleiden aan te tonen. Maar eerst zal het gebruik van deze termen strikt formeel worden uitgewerkt, want de genoemde grootheden zijn niet beschrijvend.

Een functie $z$ is afhankelijk van twee variabelen $x$ en $y$ :

z = f (x, y)

Hoe kan de afgeleide van $z$ gevormd worden? Hoe is het mogelijk om aan te tonen dat $z$ is afgeleid ten opzichte van $x$ of $y$ of zelfs beide tegelijkertijd? Het is duidelijk dat de stijlen $z'$ of $f' (x, y)$ niet helpen omdat ze de vraag onbeantwoord laten. Wat vereenvoudiging brengt, is het schrijven als een differentiaalquotiënt.

Eerst kijken we naar de afgeleide ten opzichte van $x$ :

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f (x, y)}{\partial x}

Door het $\partial$ -symbool op de plaats van $d$ wordt aangetoond dat de functie $z$ alleen wordt afgeleid ten opzichte van $x$ ; $y$ -componenten worden als constant beschouwd. Daarom heet dit de partiële afgeleide van $z$ ten opzichte van $x$ . De partiële afgeleide ten opzichte van $y$ wordt op dezelfde manier geschreven:

\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f (x, y)}{\partial y}

Soms worden de variabelen die als constante worden genomen, geschreven als een index tussen haakjes rechtsonder, bijv:

{(\frac{d z}{d x})}_{y} = \frac{\partial z}{\partial x}

{(\frac{d z}{d y})}_{x} = \frac{\partial z}{\partial y}

Deze conventie wordt vaak gebruikt in de thermodynamica om aan te geven welke variabelen als constanten moeten worden gehouden; in de meeste gevallen - en in dit speciale geval - is het $\partial$ -symbool voldoende.

Door vermenigvuldiging van de partiële afgeleiden met de differentialen van de respectieve variabelen en sommatie van beide termen, is het mogelijk om de differentiaal van de functie $z$ te schrijven:

d z = \frac{\partial f (x, y)}{\partial x} d x + \frac{\partial f (x, y)}{\partial y} d y

in het kort:

d z = \frac{\partial z}{\partial x} d x + \frac{\partial z}{\partial y} d y

Oefening 1: partiële afgeleiden en differentialen ↓

Bereken de partiële afgeleiden en de totale differentiaal van de volgende functies:

z = x^{3} y + x^{2} y^{2} + x y^{3}

z = x sin y - y sin x

Je kunt de oplossingen op de site vinden. Maar probeer het eerst zelf op te lossen!

Hierboven hebben we de totale differentiaal van $z$ opgeschreven. Het is natuurlijk niet mogelijk om de eerste afgeleide van de functie $z$ ten opzichte van beide variabelen te tonen. De tweede afgeleide is gemakkelijker te specificeren, het is geschreven als $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ .

We kunnen een uitdrukking voor de eerste afgeleide vinden als de variabelen $x$ en $y$ afhangen van een gemeenschappelijke parameter $t$ . Als

x = f_{x} (t)

y = f_{y} (t)

dan kunnen de afgeleiden van $x$ en $y$ ten opzichte van $t$ berekend worden. Als we deze afgeleiden beschouwen in de vergelijking van de differentiaal $d z$ , dan volgt:

\frac{d z}{d t} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{d y}{d t}

In deze vergelijking is $z$ afgeleid ten opzichte van alle variabelen. Daarom is de uitdrukking $\frac{d z}{d t}$ de totale afgeleide van $z = f (x, y)$ .

De termen $\frac{d x}{d t}$ en $\frac{d y}{d t}$ hoeven niet te worden geschreven met het $\partial$ -symbool omdat $x$ en $y$ alleen van $t$ afhangen en niet van andere variabelen; partiële afgeleiden zijn op dit punt dus niet nodig.

Oefening 2: totale derivaten ↓

Bereken de totale afgeleide van

z = x^{2} + 3 x y + 5 y^{2}

met $x = sin t$ en $y = cos t$ .

Ook hier kun je de oplossingen op deze pagina vinden.

Oefening 3: Partiële afgeleide en totale differentiaal van een vector ↓

De rekenregel voor de differentiaal geldt niet alleen voor scalaire functies, maar op dezelfde manier ook voor vectoren. We beschouwen de vector $\vec{A} (x, y, z)$ :