Supplément 2.2: Loi de Planck sur le rayonnement (2/2)

Énergie des vagues

Selon la loi d'équipartition de l'énergie en thermodynamique, la température cinétique moyenne d'un atome ou d'une autre microparticule est déterminée uniquement par la température absolue $T$ et est donnée par $k T$ , où $k = 1,38 \cdot 10^{- 23} J/K$ est la constante de Boltzmann (il n'est pas important pour l'instant qu'il s'agisse d'une présentation simplifiée).

Cette expression correspond également à l'énergie moyenne d'une onde dans une cavité. La valeur moyenne de l'énergie totale de toutes les ondes dans un intervalle de fréquence $d f$ peut être obtenue en multipliant l'énergie moyenne des ondes individuelles par $d N$ , le nombre total d'ondes dans cet intervalle de fréquence :

k T d N = 8 π \frac{f^{2}}{c^{3}} V k T d f

En rapportant l'énergie totale au volume, on obtient la densité d'énergie des ondes dans l'intervalle de fréquence $d f$ :

d U = u_{f} d f = \frac{k T}{V} d N = 8 π \frac{f^{2}}{c^{3}} k T d f

L'équation de la densité spectrale d'énergie

u_{f} = 8 π \frac{f^{2}}{c^{3}} k T

est la loi de Rayleigh-Jeans sur le rayonnement. Elle a été dérivée par Lord Rayleigh et Sir James Hopwood Jeans en 1900, dans un laps de temps très proche de la loi de rayonnement de Planck. Elle décrit de manière assez fiable le rayonnement des corps noirs à basses fréquences, plus courtes que le maximum du spectre de rayonnement (ou : à grandes longueurs d'onde, plus longues que le maximum). Cependant, l'équation n'a pas de maximum. Au lieu de cela, ses valeurs augmentent de façon quadratique vers les fréquences plus élevées (ou : les longueurs d'onde plus faibles), ce qui a été appelé la « catastrophe ultraviolette » de cette loi.

Max Planck, quant à lui, a choisi une formulation différente de $k T$ Il a considéré les atomes oscillant à la surface de la cavité et a fixé leur énergie cinétique à

E_{n} = n \cdot h f

avec $n = 0, 1, 2, 3, ...$ . Le nombre quantique $n$ des oscillateurs atomiques correspond au nombre de mode des ondes électromagnétiques. En effet, Planck a fixé l'énergie d'un oscillateur égale à l'énergie de l'onde qui lui est liée. Il s'agit d'une quantification du rayonnement, ce qui a fait évoluer le modèle du photon.

Oscillateurs classiques ↓

Un oscillateur linéaire classique, par exemple une masse attachée à un ressort hélicoïdal, est décrit par la loi de Hooke : La force de rappel $F$ exercée par le ressort est proportionnelle au déplacement $x$ . Elle est égale à

F = - D x

avec la constante du ressort $D$ . Linéaire signifie que la force se comporte proportionnellement au déplacement mécanique et n'obéit à aucune autre relation (ce qui serait le cas si le ressort était trop dilaté).

Déplacement d'un ressort à boudin.
Source: Wikimedia Commons.

L'énergie stockée dans le ressort est calculée en intégrant la force sur le déplacement :

E = \int F d x = - \frac{1}{2} D x^{2}

Pour l'énergie stockée dans le ressort, des valeurs continues sont possibles.

Oscillateurs mécaniques quantiques ↓

Un oscillateur linéaire de mécanique quantique obéit à la même loi des forces. En calculant l'énergie à l'aide de l'équation de Schrödinger, on constate qu'elle est quantifiée par l'équation suivante :

E_{n} = (n + \frac{1}{2}) \cdot h f

par $n = 0, 1, 2, ...$ . L'énergie de cet oscillateur ne peut donc pas être égale à zéro mais doit être au moins aussi élevée que l'énergie du point zéro

E_{n = 0} = \frac{1}{2} h f

Max Planck ne pouvait pas connaître le calcul correct de la mécanique quantique car la théorie quantique a évolué par la suite. Cependant, la différence avec l'équation de l'énergie $E_{n} = n \cdot h f$ qu'il a utilisée ne joue aucun rôle dans le calcul de sa loi sur le rayonnement.

La probabilité $p_{n}$ qu'un oscillateur se trouve dans l'état $n$ avec l'énergie $E_{n} = n \cdot h f$ est appelée probabilité d'occupation de l'état et est décrite par la distribution de Boltzmann :

p_{n} = \frac{1}{Z} exp (- \frac{n \cdot h f}{k T})

La probabilité d'occupation diminue de manière exponentielle en fonction de l'augmentation de l'énergie. La température joue également un rôle important dans ce cas : les états à haute énergie sont plus susceptibles d'être occupés à des températures plus élevées.

La quantité $Z$ au dénominateur de la probabilité d'occupation est ce que l'on appelle la somme des états :

Z = \sum_{n = 0}^{\infty} exp (- \frac{n \cdot h f}{k T})

La somme des états peut être décrite comme une série géométrique. Le résultat est le suivant :

Z = \frac{1}{1 - exp (- h f / k T)}

Preuve ↓

Avec l'abréviation

q = exp (- h f / k T)

devient $Z = \sum_{n = 0}^{\infty} q^{n}$ . Puisque $| q | < 1$ , la série converge, donc :

\sum_{n = 0}^{\infty} q^{n} = lim_{k \to \infty} \sum_{n = 0}^{k} q^{n} = lim_{k \to \infty} \frac{1 - q^{k + 1}}{1 - q} = \frac{1 - lim_{k \to \infty} q^{k + 1}}{1 - q} = \frac{1}{1 - q}

$Z$ limite les probabilités d'occupation de manière à ce que la somme de toutes les valeurs d'énergie soit égale à 1 (ou : 100%) :

\sum_{n = 0}^{\infty} p_{n} = 1

La valeur moyenne thermique du nombre quantique $n$ du rayonnement de la cavité est :

⟨ n ⟩ = \sum_{n = 0}^{\infty} n p_{n} = \frac{1}{Z} \sum_{n = 0}^{\infty} n exp (- n h f / k T)

Pour plus de lisibilité, nous fixons $h f / k T = α$ , de sorte que l'expression de la somme devient :

\sum_{n = 0}^{\infty} n exp (- n α) = - \frac{d}{d α} \sum_{n = 0}^{\infty} exp (- n α)

Une conversion en dérivation par rapport à $α$ simplifie considérablement le calcul, puisque la somme a déjà été calculée du côté droit au début. Il s'ensuit que :

- \frac{d}{d α} \sum_{n = 0}^{\infty} exp (- n α) = - \frac{d}{d α} (\frac{1}{1 - exp (- α)}) = \frac{exp (- α)}{{(1 - exp (- α))}^{2}}

L'application à l'équation pour $⟨ n ⟩$ donne le résultat pour $Z$ :

⟨ n ⟩ = \frac{exp (- h f / k T)}{1 - exp (- h f / k T)} = \frac{1}{exp (- h f / k T) - 1}

L'énergie thermique moyenne du rayonnement de la cavité est alors :

⟨ E ⟩ = ⟨ n ⟩ h f = \frac{h f}{exp (h f / k T) - 1}

Cette expression remplace l'énergie cinétique moyenne $k T$ mentionnée au début de cette page. En la considérant pour l'équation de la densité spectrale d'énergie, on obtient l'équation du rayonnement de Planck :

u_{f} = \frac{8 π f^{2}}{c^{3}} \frac{h f}{exp (h f / k T) - 1}

Transition vers la physique classique ↓

Pour les températures très élevées, à savoir $k T ≫ h f$ :

exp (- h f / k T) \approx exp (0) = 1

Ce qui entraîne $Z \approx 1$ et $p_{n} \approx 1$ , le nombre quantique $n$ perd de sa pertinence.

Le développement en série de la fonction exponentielle avec un exposant négatif dans l'équation de Planck peut être coupé après le deuxième terme :

\begin{array}{l} exp (h f / k T) = 1 + h f / k T + \frac{{(h f / k T)}^{2}}{2!} + ... \\ \approx 1 + h f / k T \end{array}

L'application à l'équation de $⟨ E ⟩$ fournit la valeur $k T$ . L'application à la densité d'énergie après Planck fournit la loi de rayonnement de Rayleigh-Jeans. C'est ce qu'on appelle le cas limite classique des relations de la mécanique quantique.

Le spectre de la Terre

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