2. Temperaturstrahlung

Lichtteilchen: Das Plancksche Strahlungsgesetz (2/2)

Strahlung in Abhängigkeit von der Wellenlänge

Mikrowellen werden meist durch ihre Frequenz charakterisiert, für sichtbares Licht ist aber die Angabe von Wellenlängen gebräuchlich. Das Plancksche Strahlungsgesetz lautet in Abhängigkeit von der Wellenlänge:

u_{λ} = \frac{d U_{λ}}{d λ} = \frac{8 π h c}{λ^{5}} \frac{1}{exp {h c / λ k T} - 1}

Frage: Wie rechnet man um von Frequenzen nach Wellenlängen? ↓

Der Zusammenhang zwischen Frequenz und Wellenlänge ist $c = f λ$ . Setzt man dies in das frequenzabhängige Planckschen Strahlungsgesetz auf der vorherigen Seite ein, so stellt man schnell fest, dass nicht das oben gezeigte wellenlängenabhängige Ergebnis herauskommt.

Die Ursache liegt darin, dass es sich um eine Differenzialgleichung handelt, denn die spektrale Energiedichte ist ein Differenzial. Daher wird nicht nur $f$ in $λ$ überführt, sondern man muss auch das Differenzial $d f$ in das Differenzial $d λ$ umrechnen:

\frac{d f}{d λ} = c \frac{d (\frac{1}{λ})}{d λ} = - c \frac{1}{λ^{2}}

Das negative Vorzeichen besagt, dass bei zunehmender Frequenz die Wellenlänge abnimmt. Beide Größen sind immer positiv. Man betrachtet daher den Betrag der Ableitung:

| \frac{d f}{d λ} | = c \frac{1}{λ^{2}}

Ersetzt man in der frequenzabhängigen Strahlungsgleichung auf der vorherigen Seite das Differenzial der Frequenz durch

| d f | = c \frac{d λ}{λ^{2}}

erhält man die oben wiedergegebene wellenlängenabhängige Form.

200-400 K 400-1000 K 1000-2500 K 2500-4000 K 4000-7000 K

Emissionskurven schwarzer Körper als Funktion der Wellenlänge bei verschiedenen Temperaturen in Kelvin. An der Abszisse und in der Einheit der Energiedichte ist die Wellenlänge in Nanometer (nm) angegeben.

Wie realisiert man einen Hohlraumstrahler, der als schwarzer Körper nach dem Planckschen Strahlungsgesetz Strahlung emittiert? Dies hängt entscheidend von der Temperatur des Strahlers, in anderen Worten von der gewünschten Lage der Strahlung im Spektrum ab.

Gleichungen ↓

Plancksche Strahler

Recht einfach lässt sich ein Strahler bei Raumtemperatur herstellen, der im thermischen Infrarot bei etwa 10 μm maximal strahlt. Hierfür ist bereits eine Schachtel aus schwarzem Karton geeignet, in die eine kleine Öffnung geschnitten wird, wie Schulexperimente mit schwarzen Würfeln zeigen. Die Öffnung erscheint schwärzer als der schwarze Karton. Aus dem Hohlraum tritt infrarote Strahlung aus, deren Spektrum vermutlich dem Verlauf des Planckschen Strahlungsgesetzes für Raumtemperatur recht nahe kommt.

Für Anwendungen mit hohen Genauigkeiten, bei denen die Temperatur des Strahlers variabel von Raumtemperatur bis etwa 1500°C bzw. 1200 K reichen soll, werden Heizöfen verwendet, wie sie bereits vor 120 Jahren im Lichttechnischen Labor der Physikalisch-Technischen Reichsanstalt in Berlin genutzt wurden. Große Sorgfalt wird auf eine gute Isolierung des äußeren Mantels und eine gleichmäßige Erhitzung des Innenraums gelegt, um ein thermisches Gleichgewicht im Inneren zu erreichen. Die mit Thermometern auf den Wänden des Innenraums gemessene Temperatur entspricht dann in guter Näherung der Strahlungstemperatur der aus der Öffnung austretenden Planckschen Strahlung.

Drei Hohlraumstrahler für Temperaturen bis etwa 1500°C. Im Vordergrund rechts sind Strahlungsempfänger zu sehen, deren Empfindlichkeit mit den Hohlraumstrahlern kalibriert wird.
Quelle: Eidgenössisches Institut für Metrologie METAS, Bern, Schweiz

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