Supplement 1.5: Massa, energie en impuls van deeltjes en fotonen (1/2)

Massa

We moeten een onderscheid maken tussen de rustmassa (of de intrinsieke massa) en de relativistische massa van deeltjes. De rustmassa komt overeen met de massa van een niet bewegend deeltje. We duiden deze aan met het symbool m_o. Als de snelheid van het deeltje veel kleiner is dan de lichtsnelheid (wat geldt voor alle voorwerpen in ons dagelijks leven), wordt de relativistische massa gereduceerd tot de rustmassa.

Als de snelheid v echter de lichtsnelheid c benadert, neemt de massa oneindig toe en zou bij de lichtsnelheid oneindig groot worden. Volgens de speciale relativiteitstheorie geldt voor deze bewegende massa het volgende:

m = \frac{m_{o}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}

Met $v \to c$ nadert de noemer 0 en dus $m \to \infty$ . De toenemende massa van het deeltje met toenemende snelheid wordt rrelativistische massatoename genoemd.

Fotonen kunnen niet in rust zijn, maar hun snelheid is altijd de lichtsnelheid. Daarom is hun rustmassa nul en er is geen toenemende relativistische massa. Klaarblijkelijk hebben fotonen helemaal geen massa, wat ze zeer verschillend van andere deeltjes maakt!

De impuls van een deeltje

De impuls van een deeltje hangt af van de massa en snelheid ervan:

p = m v

Deze vergelijking geldt ook bij een toenemende snelheid van het deeltje, zelfs als de snelheid tot de lichtsnelheid toeneemt. Echter, naast de snelheid moet ook de relativistische massatoename in aanmerking genomen worden:

p = m v = \frac{m_{o} v}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}

De grootheid m_o is weer de rustmassa van het niet bewegende deeltje.

De energie van een deeltje

De kinetische energie van een deeltje met een lage snelheid is:

E = \frac{1}{2} m v^{2}

Als de snelheid toeneemt en de lichtsnelheid nadert, dan geldt deze vergelijking niet langer. Energie en massa moeten dan beschouwd worden als twee zijkanten van dezelfde munt; deze equivalentie van massa en energie wordt door de volgende vergelijking gegeven uit de speciale relativiteitstheorie:

E = m c^{2}

Hier is m weer de relativistische massa en er volgt:

E = m c^{2} = \frac{m_{o} c^{2}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}

Dus de relativistische energie van een deeltje bevat ook een rustenergie, aangezien deze bij v=0 E=m_oc² volgt. Dit gedeelte van de energie volgt uit de rustmassa van het deeltje.

Bij een snelheid v=c is de energie en ook de impuls van een deeltje oneindig. Deeltjes kunnen echter niet een oneindig hoge energie en impuls hebben. Daarom kan de snelheid van deeltjes met een rustmassa die niet nul is, niet de lichtsnelheid bereiken, waardoor ze zeer verschillend van fotonen zijn!

De vierkantswortelterm kan uitgebreid worden als een machtreeks: