Supplement 1.5: Massa, energie en impuls van deeltjes en fotonen (2/2)

De energie van een deeltje ... vervolg van vorige pagina

Door de relaties van energie en impuls te kwadrateren en beide vergelijkingen te combineren krijgen we een vergelijking voor de relativistische energie van een deeltje in de volgende vorm:

E = \sqrt{p^{2} c^{2} + m_{o}^{2} c^{4}}

Gedetailleerde algebra ↓

De vergelijking van de relativistische deeltjesenergie kwadrateren:

E^{2} = m^{2} c^{4} = \frac{m_{o}^{2} c^{4}}{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} = \frac{m_{o}^{2} c^{6}}{c^{2} - v^{2}}

Opnieuw ordenen, $E^{2} c^{2} = E^{2} v^{2} + m_{o}^{2} c^{6}$

delen door c² en E² in de eerste term aan de rechterkant vervangen door m²c⁴ geeft:

E^{2} = m^{2} c^{2} v^{2} + m_{o}^{2} c^{6}

Door in de eerste term aan de rechterkant het product m²v² door p² te vervangen en de vierkantswortel te nemen, krijgen we de gegeven vergelijking.

Energie en impuls van fotonen

De rustenergie van fotonen is nul. Bij m_o=0 volgt dit uit de vergelijking van de hierboven gegeven relativistische deeltjesenergie:

E = p c

Anderzijds, volgens Planck en Einstein is de energie van fotonen:

E = h f

en dit volgt dus de impulsvergelijking van fotonen:

p = \frac{h}{c} f = \frac{h}{λ}

In supplement 1.2 op pagina 2 introduceerden we twee grootheden die in de plaats van de frequentie f en golflengte λ: gebruikt kunnen worden: de circulaire frequentie ω, met $ω = 2 π f$ , en het golfgetal k, met $k = 2 π / λ$ .

In plaats van de Planck-constante h gebruikt men vaak de zogenaamde gereduceerde Planck-constante $ℏ = h / 2 π$ (uitgesproken “h-bar”).

Met deze parameters kunnen we schrijven: $E = ℏ ω$ , $p = ℏ k$ .

Deeltjes met een rustmassa, die niet nul is,

hebben een energie $E = m c^{2}$ en een impuls $p = m v$
hebben een relativistische massa die toeneemt met de snelheid en oneindig wordt bij de lichtsnelheid; daarom kunnen ze zich niet met de lichtsnelheid voortplanten.

Fotonen

hebben een rustmassa die nul is en planten zich altijd voort met de lichtsnelheid
hebben een energie $E = h f$ of $E = ℏ ω$
en een impuls $p = \frac{h}{λ}$ of $p = ℏ k$

Inzicht in Spectra van de Aarde

Supplement 1.5: Massa, energie en impuls van deeltjes en fotonen (2/2)

De energie van een deeltje ... vervolg van vorige pagina

Energie en impuls van fotonen