Supplement 1.3: De snelheid van elektromagnetisch golven

De fasesnelheid van monochromatische golven

De snelheid van een monochromatische golf kan gemakkelijk berekend worden. We bekijken het elektrisch veld $\overrightarrow{E}$ van een golf die zich voortplant in de richting van de golfvector $\overrightarrow{k}$:

De snelheid van de golf wordt verkregen door

te zetten, d.w.z. door te kijken naar posities i.e., looking at positions $\overrightarrow{r}$ op tijden t van een vaste waarde van het veld. Daar ${\overrightarrow{E}}_o=\text{const}\text{.}$ in het geval van vlakke golven, is dit equivalent aan een constant argument van de sinusfunctie:

De snelheid wordt berekend door $\left|\overrightarrow{r}\right|=r$ ten opzichte van t te differentiëren:

Dit is de fasesnelheid c van de golf. In het geval van elektromagnetische golven, is dit de lichtsnelheid. Met $\omega =2\pi f$ en $k=2\pi /\lambda$ volgt:

We kunnen meer te weten komen over de afhankelijkheid van de lichtsnelheid op elektrische en magnetische parameters door de golfvergelijking op te lossen

met                                 $\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)={\overrightarrow{E}}_{o}sin\left(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}-\omega t\right)$

(gebruik makend van de vergelijkingen voor $\overrightarrow{B}$ leidt tot een identiek resultaat).

 

Tweede differentiatie van $\overrightarrow{E}$ ten opzichte van ruimte en tijd leidt tot

en dus:                             $c_o=\frac{\omega }{k}=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_o{\mu }_o}}$

Dit is de lichtsnelheid in vacuüm c_o, wat een fundamentele constante is in de fysica. Met de diëlektrische constante in vacuüm ε_o=8,854·10^-12 A·s/(V·m) en de doorlatendheid in vacuüm μ_o=1,256·10^-6 V·s/(A·m) krijgt men:

of 300 000 km/s bij benadering.

De lichtsnelheid c in materie is kleiner dan de lichtsnelheid in vacuüm:

bij de relatieve diëlektrische constante ε_r en doorlatendheid μ_r van het materiaal. Deze vergelijking wordt de relatie van Maxwell genoemd. Voor doorzichtige materialen is μ_r≈1. Voor water en glas bij frequenties van zichtbaar licht is ε_r≈1,8 en 2,25, wat de lagere lichtsnelheid ervan verklaart zoals aangegeven in hoofdstuk 1, in het gedeelte elektromagnetische golven op pagina 2.

De breekindex n van materie wordt gegeven door $n=\sqrt{{\epsilon }_r{\mu }_r}$, en dus:

Met deze uitkomst zijn de vergelijkingen voor elektromagnetische golven:

De lichtsnelheid in het kwadraat verbindt de ruimtelijke en temporele afgeleiden van de tweede orde van de grootheden van het elektrisch en het magnetisch veld.