Supplement 1.2: De vergelijkingen van Maxwell oplossen voor elektromagnetische golven    (3/3)

Vlakke monochromatische golven      (vervolg)

Golven die zich in willekeurige richtingen a → voortplanten kunnen verkregen worden door het golfgetal k in een vector met de richting van de voortplantende golf, k a → om te zetten. Dit is de golfvector k → , met | k → |= k=2π /λ .

Het elektrisch en magnetisch veld van golven die zich in een richting voortplanten gegeven door de oriëntatie van k →  is dan:

E → ( r → ,t)= E → o sin( k → ⋅ r → −ωt )          B → ( r → ,t)= B → o sin( k → ⋅ r → −ωt )

Welke relatie bestaat er tussen E → en B → ? Ze zijn met elkaar verbonden in de derde en vierde vergelijking van Maxwell. Bv. de derde vergelijking luidt:

∇× E → =− ∂ B → ∂t

We kiezen een elektromagnetisch golf die zich in de richting x voortplant. Aangezien de veldvectoren loodrecht op x staan, reduceren ze in cartesiaanse coördinaten tot:

E → =( 0, E y , E z )            B → =( 0, B y , B z )

Met deze vectoren wordt de derde vergelijking van Maxwell:

y-component:            ∂ E z ∂x = ∂ B y ∂t
z-component:            ∂ E y ∂x =− ∂ B z ∂t

(de x-component wordt nul, aangezien Bx=0).

Vraag 2:
Derde vergelijking van Maxwell in cartesiaanse componenten ↓

 

Om de y-component op te lossen kiezen we een sinusoïdaal elektrisch veld Ez:

E z = E z,o sin( kx−ωt )

Met de partieel afgeleide ten opzichte van x, ∂ E z ∂x , krijgt men voor de y-component van het magnetisch veld:

B y =∫ ∂ E z ∂x dt =− k ω E z

Op dezelfde wijze geeft het oplossen van de z-component van de vergelijking van Maxwell:

B z = k ω E y

De vergelijkingen van beide componenten kunnen in een vectorvergelijking gecombineerd worden:

B → = k ω a → × E →

waarin a → weer een eenheidsvector is die in de richting van de voortplanting van de golf wijst. De relaties bewijzen dat

  • E → en B → en de voortplantingsrichting van de golf allemaal loodrecht op elkaar staan (wat we hierboven al vonden) en
  • E → en B → hebben in ieder punt een identieke fase (bv. bij het doorlopen van nul, maxima, ...), zoals getoond in de grafiek in hoofdstuk 1, het gedeelte elektromagnetische golven.