Supplement 1.2: De vergelijkingen van Maxwell oplossen voor elektromagnetische golven    (2/3)

De golfvergelijkingen oplossen

We hebben de golfvergelijkingen afgeleid die elektromagnetische velden in vacuüm kenmerken. Ze combineren de tweede ruimtelijke en temporele afgeleiden van het elektrisch en magnetisch veld.

Δ E → = ε o μ o ∂ 2 E → ∂ t 2            Δ B → = ε o μ o ∂ 2 B → ∂ t 2

We onderzoeken de vector van het elektrisch veld E → van de golf op een positie r → =( x,y,z ) in de ruimte. Aangenomen wordt dat de golf zich voortplant in een richting gegeven door de eenheidsvector a → . De golfvergelijking voor het elektrisch veld wordt dan door de volgende vergelijking opgelost:

E → = E → o  f( a → ⋅ r → − 1 ε o μ o t )

waarin E → o een constante vector is die dezelfde oriëntatie heeft als E → en f is een tweede differentieerbare functie.

Met de eerste vergelijking van Maxwell voor de divergentie van het elektrisch veld volgt:

∇⋅ E → = a → ⋅ E → o   ∂ ∂r f( a → ⋅ r → − 1 ε o μ o t )=0

en daarom:                          a → ⋅ E → o =0

Het scalaire product van twee vectoren wordt nul als de vectoren onderling een rechte hoek maken. Dus, E → o en ook E → staan loodrecht op de richting waarin de golf zich voortplant.

 

In de derde vergelijking van Maxwell

∇× E → =− ∂ B → ∂t

staat de vector ∇× E → loodrecht op E → . Aangezien de tijdafgeleide de oriëntatie van B → niet verandert, is het duidelijk dat E → en B → loodrecht op elkaar staan en beide staan loodrecht op de richting waarin de golf zich voortplant: elektromagnetische golven zijn transversale golven.

Vlakke monochromatische golven

In hoofdstuk 1, onder het gedeelte elektromagnetische golven op pagina 2, worden het E-veld en B-veld van een vlakke monochromatische golf die zich in richting x voortplant (het vectorkarakter van E → en B → buiten beschouwing gelaten) geschreven als:

E(x,t)= E o sin2π( x λ − t T )          B(x,t)= B o sin2π( x λ − t T )

Een alternatieve formulering van deze vergelijkingen gebruikt

  • de circulaire frequentie ω, met ω=2πf= 2π /T , en
  • het golfgetal k, met k= 2π /λ .

Met deze grootheden worden bovenstaande vergelijkingen:

E(x,t)= E o sin( kx−ωt )          B(x,t)= B o sin( kx−ωt )

We zullen deze vorm verderop in de bijvoegsels gebruiken.