Ergänzung 4.5: Polarisation elektromagnetischer Wellen: Stokes-Vektoren und Müller-Matrizen (2/2)

Optische Wechselwirkungen als 4×4-Matrix: Müller-Matrizen

Die Elemente eines Stokes-Vektors $\vec{S}$ ändern sich, wenn man den Vektor mit einer 4×4-Matrix multipliziert. Diese Matrix kennzeichnet die Wechselwirkung des Lichts mit einem optischen Bauteil, oder einen optischen Effekt, der die Intensität oder Polarisation ändert. Kennzeichnet man den Stokes-Vektor nach der Wechselwirkung wie im Fall der Jones-Vektoren als gestrichene Größe, so lässt sich schreiben:

(\begin{matrix} I_{y}' \\ I_{z}' \\ U' \\ V' \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} & ... & ... & a_{14} \\ ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{41} & ... & ... & a_{44} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} I_{y} \\ I_{z} \\ U \\ V \end{matrix}) \Leftrightarrow \vec{S}' = M \cdot \vec{S}

Die Intensitätstransformationsmatrix $M$ ist die Müller-Matrix.

Für das Auffinden der für eine bestimmte Aufgabe gesuchte Müller-Matrix kann man (wenn man sie in der Literatur nicht findet) auf die nicht so schwierig zu formulierende Transformation der Feldstärken

\begin{array}{l} E_{y}^{'} = a_{1} E_{y} + a_{4} E_{z} \\ E_{z}^{'} = a_{3} E_{y} + a_{2} E_{z} \end{array}

zurückgreifen und die gestrichenen Feldstärken in die Definition der Stokes-Parameter einsetzen. Nach Sortieren der so entstehenden Terme lassen sich die Elemente der Müller-Matrix identifizieren.

Beispiel 1: Matrix des Verzögerers, schnelle Achse in Richtung y ↓

Die Matrix für einen idealen Verzögerer mit einer Phasendifferenz $φ$ der Teilwellen und mit der schnellen Achse in Richtung y erhät man aus der Transformation für die Feldstärken:

E_{y}' = e^{- i φ / 2} E_{y} E_{z}' = e^{i φ / 2} E_{z}

eingesetzt in die Stokes-Parameter ergibt:

\begin{array}{l} I_{y}' = E_{y}' E_{y}^{*}' = E_{y} E_{y}^{*} = I_{y} \\ I_{z}' = E_{z}' E_{z}^{*}' = E_{z} E_{z}^{*} = I_{z} \\ U' = E_{y}' E_{z}^{*}' + E_{z}' E_{y}^{*}' = e^{- i φ} E_{y} E_{z}^{*} + e^{i φ} E_{z} E_{y}^{*} \\ = (cos φ - i sin φ) E_{y} E_{z}^{*} + (cos φ + i sin φ) E_{z} E_{y}^{*} \\ = cos φ U - sin φ V \\ V' = i (E_{y}' E_{z}^{*}' - E_{z}' E_{y}^{*}') = i (e^{- i φ} E_{y} E_{z}^{*} - e^{i φ} E_{z} E_{y}^{*}) \\ = i ((cos φ - i sin φ) E_{y} E_{z}^{*} - (cos φ + i sin φ) E_{z} E_{y}^{*}) \end{array}

Die Transformation in Matrixschreibweise:

(\begin{matrix} I_{y}' \\ I_{z}' \\ U' \\ V' \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & cos φ & - sin φ \\ 0 & 0 & sin φ & cos φ \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} I_{y} \\ I_{z} \\ U \\ V \end{matrix})

Beispiel 2: Matrix des Linearpolarisators mit diagonaler Orientierung ↓

Die Transformation der Feldstärken für einen idealen Linearpolarisator mit Durchlass diagonal im ersten und dritten Quadranten der y,z-Ebene:

\begin{array}{l} E_{y}' = \frac{1}{2} E_{y} + \frac{1}{2} E_{z} \\ E_{z}' = \frac{1}{2} E_{y} + \frac{1}{2} E_{z} \end{array}

eingesetzt in die Stokes-Parameter ergibt:

\begin{array}{l} I_{y}' = E_{y}' E_{y}^{*}' = \frac{1}{4} E_{y} E_{y}^{*} + \frac{1}{4} E_{z} E_{z}^{*} + \frac{1}{4} (E_{y} E_{z}^{*} + E_{z} E_{y}^{*}) \\ = \frac{1}{4} (I_{y} + I_{z} + U) \\ I_{z}' = E_{z}' E_{z}^{*}' = \frac{1}{4} E_{y} E_{y}^{*} + \frac{1}{4} E_{z} E_{z}^{*} + \frac{1}{4} (E_{y} E_{z}^{*} + E_{z} E_{y}^{*}) \\ = \frac{1}{4} (I_{y} + I_{z} + U) \\ U' = E_{y}' E_{z}^{*}' + E_{z}' E_{y}^{*}' = \frac{1}{2} E_{y} E_{y}^{*} + \frac{1}{2} E_{z} E_{z}^{*} + \frac{1}{2} (E_{y} E_{z}^{*} + E_{z} E_{y}^{*}) \\ = \frac{1}{2} (I_{y} + I_{z} + U) \\ V' = i (E_{y}' E_{z}^{*}' - E_{z}' E_{y}^{*}') = 0 \end{array}

Die Transformation in Matrixschreibweise:

(\begin{matrix} I_{y}' \\ I_{z}' \\ U' \\ V' \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 / 4 & 1 / 4 & 1 / 2 & 0 \\ 1 / 4 & 1 / 4 & 1 / 2 & 0 \\ 1 / 2 & 1 / 2 & 1 / 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} I_{y} \\ I_{z} \\ U \\ V \end{matrix})

Prüfen Sie mit selbst gewählten Beispielen, wie sich Intensität und Polarisationsart des Lichts beim Durchgang durch den Polarisator mit dieser Orientierung ändern!

So wie in diesen Beispielen kann auch die Müller-Matrix der bereits früher diskutierten Drehung der y,z-Koordinaten um einen Winkel $α$ gefunden werden. Dies führt zur Drehmatrix:

R (α) = (\begin{matrix} {cos}^{2} α & {sin}^{2} α & \frac{1}{2} sin 2 α & 0 \\ {sin}^{2} α & {cos}^{2} α & - \frac{1}{2} sin 2 α & 0 \\ - sin 2 α & sin 2 α & cos 2 α & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Die in der rechten Spalte angegebenen Matrizen einiger Bauteile in ihrer Basisorientierung können mit der folgenden Gleichung in eine Orientierung unter dem Winkel $α$ überführt werden:

M (α) = R (α) \cdot M \cdot R (- α)

Die Funktion mehrerer Bauteile in Reihe berechnet sich wie im Falle der Jones-Matrizen aus dem nicht-kommutativen Produkt der jeweiligen Müller-Matrizen, für n Bauteile:

M = M_{n} \cdot M_{n - 1} \cdot ... \cdot M_{2} \cdot M_{1}

Als letztes Element eines optischen Aufbaus findet sich meist ein Fotodetektor, mit dem die Intensität des Lichts gemessen wird. Der Detektor kann als Zeilenvektor $\vec{D} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix})$ dargestellt werden, mit dem die Summe der beiden ersten Elemente eines Stokes-Vektors ermittelt wird:

I_{y}' + I_{z}' = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} I_{y}' \\ I_{z}' \\ U' \\ V' \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot M \cdot (\begin{matrix} I_{y} \\ I_{z} \\ U \\ V \end{matrix})

Die Zeilenmatrix des Detektors kann durch spektral abhängige Faktoren ergänzt werden, um seine wellenlängenabhängige Empfindlichkeit oder Quantenausbeute zu berücksichtigen.

Müller-Matrix	Bauteil oder Wechselwirkung
$P = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})$	Linearpolarisator mit Durchlass längs der y-Achse
$Q_{φ} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & cos φ & - sin φ \\ 0 & 0 & sin φ & cos φ \end{matrix})$	Verzögerer mit einer Phasendifferenz $φ$ der Teilwellen, schnelle Achse in Richtung y
$Q_{λ / 4} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix})$	$λ / 4$ -Verzögerer ( $λ / 4$ -Blättchen) mit $φ = π / 2$ , schnelle Achse in Richtung y
$Q_{λ / 2} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix})$	$λ / 2$ -Verzögerer ( $λ / 2$ -Blättchen) mit $φ = π$ , schnelle Achse in Richtung y
$T = \frac{n_{2} cos δ_{t}}{n_{1} cos δ} (\begin{matrix} t_{∥}^{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & t_{⊥}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t_{∥} t_{⊥} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t_{∥} t_{⊥} \end{matrix})$	Fresnel-Brechung an einem Dielektrikum. Die Größen n₁ und n₂ sind die Brechzahlen im einfallenden und gebrochenen Medium. Fresnel-Koeffizienten: siehe den vorherigen Abschnitt über Jones-Matrizen.
$X = (\begin{matrix} r_{∥}^{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & r_{⊥}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - r_{∥} r_{⊥} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - r_{∥} r_{⊥} \end{matrix})$	Fresnel-Reflexion an einem Dielektrikum. Die negativen Vorzeichen der gemischten Komponenten entstehen durch die Richtungsumkehr infolge der Reflexion. Fresnel-Koeffizienten: siehe den vorherigen Abschnitt über Jones-Matrizen.
$Y = (\begin{matrix} r_{∥}^{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & r_{⊥}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & s \\ 0 & 0 & - s & c \end{matrix})$ mit den Abkürzungen $c = r_{∥} r_{⊥} cos Δ$ $s = r_{∥} r_{⊥} sin Δ$	Fresnel-Reflexion an einem Metall. Einfallswinkel von 0 bis 90° ergeben Phasenwinkel Δ von 0 bis 180° zwischen den orthogonalen Teilwellen. Alle Größen sind Funktionen der komplexen Brechzahl m=n-in', mit der reellen Brechzahl n und dem Extinktionskoeffizienten n' des Metalls, die von der Wellenlänge abhängen. Für eine ausführliche Darstellung siehe z.B. David Clarke: Stellar Photometry (Wiley-VCH, 2010), Appendix A.

Aufgabe: Licht durch einen

λ / 4

-Verzögerer ↓

Berechnen Sie bitte die Müller-Matrix eines $λ / 4$ -Verzögerers mit der schnellen Achse in Richtung der z-Koordinate.
Berechnen Sie für den $λ / 4$ -Verzögerer mit der schnellen Achse in Richtung der z-Koordinate die Polarisationsarten des durchgelassenen Lichts für einfallendes Licht mit der Intensität 1 und mit folgenden Polarisationen:
a) linear längs y
b) linear diagonal im ersten und dritten Quadranten
c) linear längs z
d) linear diagonal im zweiten und vierten Quadranten

Die Lösung finden Sie auf einer anderen Seite. Versuchen Sie es aber erstmal selbst!

Spektren der Erde

Ergänzung 4.5: Polarisation elektromagnetischer Wellen: Stokes-Vektoren und Müller-Matrizen (2/2)

Optische Wechselwirkungen als 4×4-Matrix: Müller-Matrizen