Supplement 2.6: Differentialen en afgeleiden (4/4)

De stroomsnelheid als voorbeeld van een vector

Het formalisme dat tot nu toe is gegeven, geldt niet alleen voor scalaire grootheden zoals de temperatuur, maar ook voor vectoren, bijvoorbeeld de snelheidsvector. Als in de vergelijking

\frac{d T}{d t} = \frac{\partial T}{\partial t} + \vec{v} \cdot \nabla T

$T$ wordt vervangen door $\vec{v}$ , wordt het:

\frac{d \vec{v}}{d t} = \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v}

De notaties 'Lagrangiaanse en Euleriaanse vorm' en 'convectieve term' worden op dezelfde manier gebruikt. Er moet echter speciale aandacht worden besteed aan de haakjes. Wat betekent dat?

De term $\vec{v} \cdot \nabla T$ in het voorbeeld van temperatuur is het scalair product van de vectoren $\vec{v}$ en $\nabla T$ . De volgorde van vermenigvuldigen is in dit geval niet van belang: het is ook juist om eerst $\vec{v} \cdot \nabla$ uit te rekenen en het scalaire resultaat vervolgens met $T$ te vermenigvuldigen.

De term $\nabla \vec{v}$ is echter niet gedefinieerd en daarom is de volgorde van vermenigvuldigen hier van belang. Dit wordt verduidelijkt door de haakjes in de term $(\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v}$ . Het puntproduct tussen haakjes wordt

\vec{v} \cdot \nabla = u \frac{\partial}{\partial x} + v \frac{\partial}{\partial y} + w \frac{\partial}{\partial z}

en het resultaat - een scalair - wordt vermenigvuldigd met $\vec{v}$ ,

(\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} = u \frac{\partial \vec{v}}{\partial x} + v \frac{\partial \vec{v}}{\partial y} + w \frac{\partial \vec{v}}{\partial z}

zijn cartesiaanse componenten:

\begin{array}{l} (\vec{v} \cdot \nabla) u = u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z} \\ (\vec{v} \cdot \nabla) v = u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} + w \frac{\partial v}{\partial z} \\ (\vec{v} \cdot \nabla) w = u \frac{\partial w}{\partial x} + v \frac{\partial w}{\partial y} + w \frac{\partial w}{\partial z} \end{array}

Opdracht 5: Nabla-operator en snelheidsvector ↓

De Nabla-operator kan gekoppeld worden aan een vector, bijvoorbeeld de snelheidsvector.

a) Geef de termen $\nabla \cdot \vec{v}$ en $\nabla \times \vec{v}$ ` weer in cartesische coördinaten. Zijn het scalaren of vectoren?

b) Wat is de betekenis van deze termen? Wat betekent de term $\vec{v} \cdot \nabla$ ?

Je kunt de oplossingen op deze site vinden.

De totale afgeleide van de snelheid in componenten wordt dus:

\frac{d u}{d t} = \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z}

\frac{dv}{d t} = \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} + w \frac{\partial v}{\partial z}

\frac{dw}{d t} = \frac{\partial w}{\partial t} + u \frac{\partial w}{\partial x} + v \frac{\partial w}{\partial y} + w \frac{\partial w}{\partial z}

Dit zijn de fundamentele kinematische relaties die gebruikt worden voor de fysische beschrijving van stromingen: ze specificeren de versnelling van vervormbare media zoals lucht en water.

Door andere versnellingstermen toe te voegen die het gevolg zijn van krachten als oorzaak en gevolg van versnelling, wordt de hydrodynamische impulsvergelijking verkregen. Als wrijving tot de krachten behoort, is het resultaat de Navier Stokes-vergelijking van hydrodynamica.

Mechanica van massapunten en vervormbare media ↓

Als de beweging van een voorwerp wordt afgebeeld met de focus op "Hoe" het gebeurt, wordt dit kinematica van beweging genoemd. Voor het beschrijven van de beweging van het massapunt van een voorwerp dat het zwaartepunt is, worden zijn positie $\vec{r} (t)$ , zijn snelheid $\vec{v} (t) = \frac{d \vec{r} (t)}{d t}$ en zijn versnelling $\vec{a} (t) = \frac{d \vec{v} (t)}{d t} = \frac{d^{2} \vec{r} (t)}{d t^{2}}$ gebruikt.

Als we kijken naar het "Waarom" van beweging, komen de krachten die de beweging beïnvloeden in beeld; dit vertegenwoordigt de dynamica van beweging. Newton's bewegingsvergelijking

\vec{F} = m \frac{d \vec{v}}{d t} = m \vec{a}

is een voorbeeld voor een voorwerp met massa $m$ dat wordt versneld met $\vec{a}$ door een externe kracht $\vec{F}$ .

Voor vervormbare media, zoals gassen en vloeistoffen, leidt de beweging van het zwaartepunt zelden tot het gewenste resultaat. Bovendien zijn de details van de beweging van dit ruimtelijk uitgebreide en in de meeste gevallen complex gestructureerde object, inclusief de interne processen, van belang. De bewegingsvergelijking wordt analoog geformuleerd; met behulp van de massa per volume, d.w.z. de dichtheid op de plaats van de massa, $ρ = \frac{d m}{d V}$ , die in ruimte en tijd kan variëren. Dienovereenkomstig wordt de externe krachtdichtheid geïntroduceerd ter vervanging van de externe krachten:

\frac{d \vec{F}}{d V} = ρ \frac{d \vec{v}}{d t} = ρ \vec{a}

Een infinitesimaal massa-element wordt versneld net als het zwaartepunt van een vast lichaam volgens $\frac{d \vec{v}}{d t}$ . In dit geval is het de sommatie van de lokale versnelling $\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}$ en de invloed van de omringende elementen van het medium $(\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v}$ , ofwel de convectieve term.

De volgende grafiek toont de trajecten van oppervlakte drijvers, met in dit voorbeeld een kleurenbalk die de drijfsnelheid in m/s weergeeft. Hieruit blijkt dat de drijfsnelheid erg variabel is en bovendien hoge waarden kan aannemen in open zee. Dit is een voorbeeld van de Lagrangiaanse weergave van stromingen.

Drijfroutes bij de Dominicaanse Republiek en Puerto Rico

Trajecten van 18 oppervlakte drifters in de omgeving van de Dominicaanse Republiek en Puerto Rico. De kleurenbalk toont de drijfsnelheid in m/s.
Bron: Caribbean Coastal Ocean Observation System (Caribbean IOOS).

De volgende grafiek toont een tijdreeks van oceaanstromingen over twee dagen in de Waddenzee van Nedersaksen bij het eiland Spiekeroog. Het diagram toont de stroomsnelheid, die wordt gekenmerkt door de halve dag cyclus van de getijden, en de stroomrichting die wordt gedomineerd door de noord-zuid richting door de getijdeninlaat van Spiekeroog. Dit is een voorbeeld van de Euleriaanse weergave van de stroomsnelheid.

Stromingsgegevens van een tijdreeksstation in de getijdeninham van Spiekeroog.. Midden en onder: hoeveelheid en richting van de stroming. Rechtsboven: vectoren van de stroomsnelheid in een polair coördinaten diagram.

Met satellietradarhoogtemeting is het mogelijk om wereldwijde oceaanstromingen te bepalen aan de hand van de gemeten topografie van het oceaanoppervlak. Voor dit aspect vindt u een video van enkele jaren gerealiseerd door NASA's Scientific Visualization Studio met aanvullende links als voorbeeld van een Lagrangiaanse weergave van oceaanstromingen.

Inzicht in Spectra van de Aarde

Supplement 2.6: Differentialen en afgeleiden (4/4)

De stroomsnelheid als voorbeeld van een vector