Supplément 2.6: Différentielles et dérivations (2/4)

La température comme exemple de fonction de plusieurs variables

A la page précédente, nous avons déjà établi que la température est une fonction des coordonnées cartésiennes $x$ , $y$ et $z$ z et qu'en plus, elle est une fonction du temps $t$ :

T = f (x, y, z, t)

Le différentiel de température est donc :

d T = \frac{\partial T}{\partial x} d x + \frac{\partial T}{\partial y} d y + \frac{\partial T}{\partial z} d z + \frac{\partial T}{\partial t} d t

Afin d'écrire les équations plus simplement, nous combinons les coordonnées cartésiennes dans le vecteur de position

\vec{r} = (x, y, z)

La température devient alors :

T = f (\vec{r}, t)

Nous combinons également les différentielles cartésiennes pour obtenir un vecteur de position différentiel

d \vec{r} = (d x, d y, d z)

La même procédure s'applique aux dérivées en utilisant le vecteur de dérivée spatiale

\nabla = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})

Le symbole $\nabla$ est l'opérateur Nabla.

La différentielle de la température avec ces vecteurs s'écrit alors comme suit :

d T = \frac{\partial T}{\partial t} d t + d \vec{r} \cdot \nabla T

où le symbole de multiplication $\cdot$ désigne le produit scalaire des vecteurs. La dérivée spatiale de la température $\nabla T$ est le gradient de température

\nabla T = (\frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y}, \frac{\partial T}{\partial z})

Equations ↓

Comment comprendre les deux représentations équivalentes

d T = \frac{\partial T}{\partial x} d x + \frac{\partial T}{\partial y} d y + \frac{\partial T}{\partial z} d z + \frac{\partial T}{\partial t} d t = \frac{\partial T}{\partial t} d t + d \vec{r} \cdot \nabla T

du différentiel de température ? Comment les mettre en pratique ?

A partir d'un champ de température donné $T = f (x, y, z, t) = f (\vec{r}, t)$ dans l'espace et le temps, connu par des données mesurées ou par un modèle numérique, on peut calculer une valeur de température $T (\vec{r}', t')$ pour un point choisi dans l'espace $\vec{r}' = (x', y', z')$ et le temps $t'$ .
A partir de la température, on peut également calculer les dérivées partielles par rapport aux quatre variables
$\frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y}, \frac{\partial T}{\partial z}, \frac{\partial T}{\partial t}$ resp. $\nabla T, \frac{\partial T}{\partial t}$
À partir de ces fonctions, nous pouvons calculer des valeurs spécifiques pour les dérivées partielles en un point donné de l'espace et du temps $(\vec{r}', t')$ . Ces valeurs nous informent sur les changements de température en ce point que l'on peut attendre de petits déplacements et d'un petit laps de temps.
Les différentielles $d x$ , $d y$ , $d z$ resp. $d \vec{r}$ telles que $d t$ qui agissent comme facteurs, représentent de tels changements dans l'espace et le temps. Elles permettent de petits déplacements (dans des limites infinitésimales) vers le lieu $\vec{r}$ par $d \vec{r}$ , pendant que le temps $d t$ s'écoule.
Tout est maintenant connu pour déterminer le différentiel $d T$ . La température à un autre endroit et à un autre moment est alors :
$T (x' + d x, y' + d y, z' + d z, t' + d t) = T (x', y', z', t') + d T$
resp. $T (\vec{r}' + d \vec{r}, t' + d t) = T (\vec{r}', t') + d T$

Ceci est discuté dans la tâche 4 avec un exemple numérique.

Tâche 4 : la température dans l'espace et le temps ↓

La température peut être donnée par la fonction

T = T_{o} + a x - b x y^{2} + c y z^{2} + d z t

avec :
$T_{o}$ =20°C
$a$ =0,3°C/m
$b$ =0,02°C/m³
$c$ =0,1°C/m³
$d$ =0,01°C/(m·s)

a) Quelle est la température à l'endroit $\vec{r}' = (x', y', z')$ = (10 m, 5 m, 2 m) à l'heure $t'$ = 100 s.

b) Calculez les dérivées partielles de la température. Quelles valeurs obtenez-vous pour le lieu $\vec{r}'$ aet à l'instant $t'$ ?

c) Calculez la différence de température $d T$ pour le déplacement $d \vec{r} = (d x, d y, d z)$ = (1 m, 0,5 m, 0,5 m) avec le temps $d t$ = 2 s plus tard.
(Nous traitons les différentielles pour l'approximation comme des quantités finies)

d) Quelles valeurs prend la température $T (\vec{r}' + d \vec{r}, t' + d t)$ ?

Vous trouverez des solutions sur ce site.

Moins de variables : instantanés et séries chronologiques ↓

Les températures ne doivent pas toujours être données en fonction de quatre variables.

Sans le temps comme variable, on a $T = f (\vec{r})$ . Cela correspond à une image du moment (ou: un instantané) de la distribution de la température dans l'espace. La différentielle de la température devient :
$d T = \frac{\partial T}{\partial x} d x + \frac{\partial T}{\partial y} d y + \frac{\partial T}{\partial z} d z$
resp. $d T = d \vec{r} \cdot (\nabla T)$ .

En ce qui concerne seulement deux resp. une variable spatiale, elle devient une température sur une surface resp. le long d'une ligne.
Sans la variable spatiale, on obtient $T = f (t)$ . Cela correspond à une série temporelle de la température à un endroit fixe. Le différentiel de température devient :
$d T = \frac{\partial T}{\partial t} d t$
Les séries temporelles sont largement abordées dans un autre didacticiel SEOS.

Le spectre de la Terre

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