Supplément 1.5: Masse, énergie et quantité de mouvement des particules et des photons (2/2)

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En élevant au carré les relations entre l'énergie et la quantité de mouvement et en combinant les deux équations, on obtient une équation pour l'énergie relativiste d'une particule sous la forme suivante :

E = \sqrt{p^{2} c^{2} + m_{o}^{2} c^{4}}

Calcul détaillé ↓

Quadrature de l'équation de l'énergie des particules relativistes :

E^{2} = m^{2} c^{4} = \frac{m_{o}^{2} c^{4}}{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} = \frac{m_{o}^{2} c^{6}}{c^{2} - v^{2}}

Réarrangement, $E^{2} c^{2} = E^{2} v^{2} + m_{o}^{2} c^{6}$

en divisant par c² et en remplaçant E² dans le premier terme du côté droit par m²c⁴, on obtient :

E^{2} = m^{2} c^{2} v^{2} + m_{o}^{2} c^{6}

En remplaçant dans le premier terme du côté droit le produit m²v² par p² et en prenant la racine carrée, on obtient l'équation donnée.

Énergie et quantité de mouvement des photons

L'énergie au repos des photons est nulle. Avec m_o=0, cela découle de l'équation de l'énergie des particules relativistes donnée ci-dessus :

E = p c

D'autre part, selon Planck et Einstein, l'énergie des photons est :

E = h f

et suit donc l'équation de la quantité de mouvement des photons :

p = \frac{h}{c} f = \frac{h}{λ}

Équations ↓

Dans le supplément 1.2 à la page 2, nous avons introduit deux quantités qui peuvent être utilisées à la place de la fréquence f et de la longueur d'onde λ: la fréquence circulaire ω, avec $ω = 2 π f$ , et le nombre d'ondes k, avec $k = 2 π / λ$ .

Au lieu de la constante de Planck h, on utilise souvent la constante de Planck réduite $ℏ = h / 2 π$ (prononcée “(h-barre”).

Avec ces paramètres, nous pouvons écrire : $E = ℏ ω$ , $p = ℏ k$ .

Les particules ayant une masse au repos non nulle

ont une énergie $E = m c^{2}$ et une quantité de mouvement $p = m v$
ont une masse relativiste, qui augmente avec la vitesse et devient infinie à la vitesse de la lumière ; elles ne peuvent donc pas se propager à la vitesse de la lumière.

Les photons

ont une masse au repos nulle et se propagent toujours à la vitesse de la lumière
ont une énergie $E = h f$ or $E = ℏ ω$
et une quantité de mouvement $p = \frac{h}{λ}$ or $p = ℏ k$

Le spectre de la Terre

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Énergie et quantité de mouvement des photons