الملحق رقم 1.4: طاقة و شدة الموجات الكهرومغناطيسية

طاقة المجال

تعرف كثافة الطاقة $U$ لموجة على أنها طاقتها لكل وحدة حجم، معطاة بوحدة واط . ثانية \ م³. تتميز الموجة الكهرومغناطيسية بكثافة الطاقة $U_{e l}$ لمجالها الكهربائي $\vec{E}$ و كثافة الطاقة $U_{m a g}$ لمجالها المغناطيسي $\vec{B}$ :

U_{e l} = \frac{ε}{2} E^{2}

U_{m a g} = \frac{1}{2 μ} B^{2}

مع النفاذية الكهربائية ε و السماحية المغناطيسية μ للمادة. في صفحة رقم 3 من الملحق رقم 2 وجدنا العلاقة التالية بين المجالين الكهربائي و المغناطيسي للموجات الكهرومغناطيسية:

\vec{B} = \frac{k}{ω} \vec{a} \times \vec{E}

حيث أن ω و k هما التردد الزاوي و رقم الموجة للموجة، أما $\vec{a}$ فهو متجهة وحدة في إتجاه إنتشار الموجة. و النسبة $ω / k$ هي طور السرعة c للموجة. بأخذ القيمة التربيعية للمعادلة و آخذين بعين الإعتبار علاقة Maxwell $c = 1 / \sqrt{ε μ}$ (الملحق رقم 3) بين طور السرعة و النفاذية و السماحية، نحصل على:

B^{2} = \frac{k^{2}}{ω^{2}} E^{2} = \frac{1}{c^{2}} E^{2} = ε μ E^{2}

و بذلك: $U_{e l} = U_{m a g}$ ،

إن طاقات المجال الكهربائي و المغناطيسي للموجات الكهرومغناطيسية متطابقة، حيث أن كثافة الطاقة الإجمالية هي:

U = U_{e l} + U_{m a g} = ε E^{2} = \frac{1}{μ} B^{2} = \sqrt{\frac{ε}{μ}} E B

المعادلات ↓

الكثافة

يتوافق تدفق الطاقة للموجة مع طاقة الموجة العابرة لكل وحدة مساحة بفترة من الزمن معطى بوحدات واط \ م². تتحرك الموجات الكهرومغناطيسية بسرعة الضوء c، و بذلك يمكن حساب تدفق الطاقة من c مضروبة بكثافة الطاقة:

c (U_{e l} + U_{m a g}) = c \sqrt{\frac{ε}{μ}} E B = \frac{1}{μ} E B

يمكننا إعطاء هذه الكمية المدرجة إتجاه بنفس إتجاه إنتشار الموجات عن طريق إستبدال EB بـ $\vec{E} \times \vec{B}$ . و بالتالي يكون هذا متجهة $\vec{S}$ ، حيث يشير إلى متجه المجال:

\vec{S} = \frac{1}{μ} \vec{E} \times \vec{B}

إذا كان هناك موجة مستوية أحادية اللون لها

\vec{E} = {\vec{E}}_{o} sin (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)

\vec{B} = {\vec{B}}_{o} sin (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)

تعطي: $\vec{S} = \frac{1}{μ} {\vec{E}}_{o} \times {\vec{B}}_{o} {sin}^{2} (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)$

إن المتوسط الزمني لمتجه المجال هو الذي يمكن مشاهدته بالعين أو بمستشعرات الضوء. و نستخدم هنا الأقواس $⟨ ... ⟩$ كرمز للمتوسط الزمني.

أما الحد sin² فيصبح: $⟨ {sin}^{2} (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t) ⟩ = \frac{1}{2}$

و بذلك:

⟨ \vec{S} ⟩ = \frac{1}{μ} ⟨ \vec{E} \times \vec{B} ⟩ = \frac{1}{2 μ} ({\vec{E}}_{o} \times {\vec{B}}_{o}) = \frac{c ε}{2} E_{o}^{2} \vec{a} = \frac{c}{2 μ} B_{o}^{2} \vec{a}

تعطى قيم متجهة المجال بالوحدة واط \ م ². في قياس الضوء الفيزيائي (و يسمى radiometry)، يتوافق هذا مع الضوء الساقط من الشمس irradiance، و يعطى له نفس الوحدة:

⟨ S ⟩ = \frac{c ε}{2} E_{o}^{2} = \frac{c}{2 μ} B_{o}^{2}

فهم الأطياف الضوئية من الأرض

الملحق رقم 1.4: طاقة و شدة الموجات الكهرومغناطيسية

طاقة المجال

الكثافة