الملحق رقم 1.3: سرعة الموجات الكهرومغناطيسية

طور السرعة للموجات أحادية اللون

يمكن أن تحسب سرعة الموجة أحادية اللون بسهولة. نعتبر أن المجال الكهربائي $\vec{E}$ لموجة تتحرك في إتجاه متجهة الموجة $\vec{k}$ :

\vec{E} (\vec{r}, t) = {\vec{E}}_{o} sin (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)

يتم الحصول على سرعة الموجة من خلال فرض أن

\vec{E} (\vec{r}, t) = ثابت .

أي بالنظر على الموقع $\vec{r}$ عند الزمن t لقيمة ثابتة لهذا المجال. و بما أن ${\vec{E}}_{o} = ثابت .$ في حالة الأمواج المستوية، فإن هذا مساو بحجة ثابتة لإقتران الجيب:

\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t = ثابت .

تحسب السرعة بإشتقاق $| \vec{r} | = r$ بالنسبة لـ t:

\frac{d r}{d t} = \frac{ω}{k}

و هذا هو طور السرعة c للموجة. في حالة الموجات الكهرومغناطيسية هذه هي سرعة الضوء. و في حالة أن $ω = 2 π f$ و $k = 2 π / λ$ تصبح:

c = \frac{ω}{k} = f λ

يمكننا معرفة المزيد عن إعتماد سرعة الضوء على المعاملات المغناطيسية و الكهربائية عن طريق حل معادلة الموجة

Δ \vec{E} = ε_{o} μ_{o} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}}

حيث أن $\vec{E} (\vec{r}, t) = {\vec{E}}_{o} sin (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)$

(بإستخدام معادلات $\vec{B}$ تقود إلى نتيجة متطابقة)

الإشتقاق الثاني لـ $\vec{E}$ بالنسبة للمكان و الزمان يقود إلى

k^{2} \vec{E} = ε_{o} μ_{o} ω^{2} \vec{E}

و بالتالي: $c_{o} = \frac{ω}{k} = \frac{1}{\sqrt{ε_{o} μ_{o}}}$

و هذه هي سرعة الضوء في الفراغ c_o، و التي تعتبر ثابت أساسي في الفيزياء. مع نفاذية الفراغ ε_o=8.854·10^-12 A·s/(V·m) و سماحية الفراغ μ_o=1.256·10^-6 V·s/(A·m) نحصل على:

c_o=2.998·10⁸ m/s

أو 300 000 كم / ثانية ، تقريبا.

إن سرعة الضوء c في المادة أصغر منها بكثير في الفراغ:

c = \frac{ω}{k} = \frac{1}{\sqrt{ε μ}} = \frac{1}{\sqrt{ε_{r} ε_{o} μ_{r} μ_{o}}}

مع النفاذية النسبية ε_r و السماحية النسبية μ_r للمادة. تسمى هذه المعادلة علاقة Maxwell. للمواد الشفافة μ_r≈1. أما للمياه و الزجاج عند ترددات الضوء المرئي، ε_r≈1.8 و 2.25، الأمر الذي يفسر إنخفاض سرعة الضوء لهم كما هو مبين في الفصل الأول، قسم الموجات الكهرومغناطيسية في الصفحة رقم 2.

إن معامل الإنكسار n للمادة معطى من $n = \sqrt{ε_{r} μ_{r}}$ ، و بالتالي فإن: