Nous considérons les vecteurs du champ électrique
et le champ magnétique
en présence d'une densité de charge électrique ρ et d'une densité de courant
. Les propriétés électriques et magnétiques de la matière sont données par la permittivité électrique ε
et la perméabilité magnétique μ. C'est ε=εoεr
et μ=μoμr, avec la permittivité relative εr
et la perméabilité relative μr du matériau, et où εo et
μo sont respectivement la permittivité et la perméabilité du vide.
Unités de grandeurs, valeurs de constantes
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Nous notons les unités de ces grandeurs ainsi que les valeurs de la constante diélectrique et de la
constante de champ magnétique. Nous en aurons souvent besoin par la suite.
Les propriétés du matériau et
sont sans dimension ; dans le vide,
leurs valeurs sont égales à 1.
Les équations de Maxwell combinent toutes ces quantités en un système de quatre équations intégrales ou
différentielles. Une compréhension intuitive est souvent plus facile avec les équations intégrales, et
c'est pourquoi les formes intégrales sont plus souvent utilisées dans les cours de physique. Les équations
différentielles sont données ici :
c'est-à-dire que la charge électrique est la source d'un champ électrique, alors que les charges magnétiques n'existent pas.
Un champ magnétique variable dans le temps provoque une courbure du champ électrique, et un champ électrique variable
dans le temps ou un courant électrique provoque une courbure du champ magnétique.
Equations de Maxwell sous forme intégrale
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Veuillez consulter votre manuel de physique pour connaître les formes intégrales de ces équations. Les formes intégrales
sont appelées loi de Gauss (une pour le champ électrique, une autre pour le champ magnétique), loi de Faraday et
loi d'Ampère. Comparez les formes différentielles données ici avec les équations intégrales ; quelles formes
différentielles et intégrales sont équivalentes entre elles ?
Si vous souhaitez aller plus loin : le lien entre les formes différentielles et intégrales est établi par la formule
de Gauss et la formule de Stokes. Vous les trouverez dans la littérature citée ci-dessous et dans d'autres manuels
de calcul vectoriel. L'application des formules de Gauss et de Stokes aux formes intégrales des équations de Maxwell
permet de dériver leurs formes différentielles.
Équations ↓ ↑
Les équations mathématiques sont représentées à l'aide du
Mathematical Markup
Language (MathML), qui est pris en charge par Mozilla Firefox et Safari.
Il est possible que cela ne soit pas disponible avec d'autres navigateurs.
Les termes ∇⋅ et ∇× désignent la divergence et le rotationnel du vecteur qui suit. Il s'agit de dérivées
spatiales de vecteurs, utilisant l'opérateur nabla (∇) qui est également un vecteur. Les symboles "⋅" et "×"
désignent le produit de points et le produit en croix de deux vecteurs. Par exemple, en coordonnées cartésiennes
(x,y,z) l'opérateur nabla et le champ électrique E read:se lisent :
Alors la divergence et le rotationnel de are:
Si vous n'êtes pas familiarisé avec ces opérations, nous vous renvoyons aux manuels de calcul vectoriel,
par exemple, Murray R. Spiegel, 1959: Schaum's Outline of Vector Analysis (McGraw Hill) 225 pp.
Question 1: Divergence et rotationnel d'un vecteur
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Veuillez montrer que les équations données ci-dessus pour la divergence
et le rotationnel
du vecteur champ électrique sont correctes. Ces termes sont-ils des quantités scalaires ou des vecteurs ?
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Question 2: Gradient d'une quantité scalaire
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Pour être complet, l'opérateur ∇ peut être appliqué à des quantités scalaires. Soit
une fonction scalaire dans l'espace, par exemple le potentiel électrique. Le terme ∇φ désigne
alors la dérivée spatiale de φ, également appelée
grad φ. ∇φ est un vecteur puisque le vecteur ∇ est multiplié par le scalaire φ.
Veuillez écrire ∇φ en composantes le long des directions x, y, et z.
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