2. Einführung in die mathematischen Methoden

Die Normalverteilung

Viele Arten von Daten weisen Werte auf, die innerhalb eines kontinuierlichen Wertebereiches liegen. Solche Daten werden als kontinuierliche Daten bezeichnet und die Binominalverteilung ist für sie ungeeignet.

Die Normalverteilung hat sich bei vielen Anwendungen als geeignet für den Umgang mit kontinuierlichen Daten erwiesen. Sie hat den Vorteil, dass ihre Form nur von Mittelwert- und Varianzparametern abhängt.

Es gibt einige wichtige Dinge, die Sie über die normalverteilte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion wissen sollten:

1. Die normalverteilte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) ist eine Funktion ihrer Mittelwerte und Varianzen.
2. Die normalverteilte WDF hat genau ein Maximum und ihre Werte umgeben dieses Maximum symmetrisch auf beiden Seiten.
3. Das Maximum der normalverteilten WDF stellt ihren Mittelwert, Modalwert und Median dar.
4. Der Mittelwert kann jeden numerischen Wert annehmen; negativ, Null or positiv.
5. Die Enden der Kurve erstrecken sich vom Mittelwert aus in beide Richtungen ins Unendliche, weisen weit entfernt davon aber nur sehr geringe Werte auf.
6. Die Standardabweichung bestimmt die Breite und Höhe der Kurve. Größere Werte ergeben breitere und flachere Kurven.
7. Die Wendepunkte beiderseits der Kurve sind eine Standardabweichung vom Mittelwert der Kurve entfernt.
8. Die Gesamtfläche unterhalb der Kurve ergibt 1,0, was für alle kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen gilt.
9. Die Wahrscheinlichkeiten sind durch die Flächen unterhalb der Kurve gegeben, welche von einem Startwert bis zu einem Endwert definiert sind. Einige nützliche Wahrscheinlichkeiten, die man sich merken sollte:
   • in 68,26% der Fälle nimmt eine normalverteilte Zufallsvariable (x) einen Wert im Bereich einer Standardabweichung vom Mittelwert an.
   • in 95,44% der Fälle nimmt eine normalverteilte Zufallsvariable einen Wert im Bereich von zwei Standardabweichungen vom Mittelwert an.
   • in 99,72% der Fälle nimmt eine normalverteilte Zufallsvariable einen Wert im Bereich von drei Standardabweichungen vom Mittelwert an.

Die Gleichung für die normalverteilte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion lautet:

Parameter der Gleichung sind der Mittelwert (μ) und die Varianz (σ²) sind, die Variable ist x. Für die Standard-normalverteilte WDF mit Null als Mittelwert und einer Standardabweichung 1 gilt:

Wobei $z=\left(x-\mu \right)/\sigma$ sodass eine Wahrscheinlichkeitstabelle für die Standard-normalverteilte WDF für jede normalverteilte WDF genutzt werden kann, indem die x-Werte der normalverteilten WDF in z-Werte der Standard-normalverteilten WDF umgewandelt werden.

Fragen:

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert innerhalb einer Standardabweichung $Pr\left\{\left(-1\le z\le 1\right)|N\left(\mathrm{0,1}\right)\right\}$ vom Mittelwert liegt? Sehen Sie in der Tabelle für die Standard-normalverteilte WDF bei 1,00 nach und Sie erhalten 0,3413. Dieser Wert reicht von der Mitte der Kurve ausgehend in eine Richtung der Verteilung, Sie müssen ihn also verdoppeln, das Ergebnis ist demnach 0,6826.
   
   
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert in einem Bereich von 8 bis 12 Standardabweichungen von der normalverteilten WDF liegt, N(10, 4)? Wandeln Sie zunächst x=8 und 12 in z-Werte um.
   
   
3. Welchen Wert besitzt die Wahrscheinlichkeit
   
   $Pr\left\{\left(10\le x\le 14\right)|N\left(\mathrm{10,4}\right)\right\}$?
   
   
4. Welchen Wert besitzt die Wahrscheinlichkeit
   
   $Pr\left\{\left(9\le x\le 14\right)|N\left(\mathrm{10,4}\right)\right\}$?
   
   
5. Welchen Wert besitzt die Wahrscheinlichkeit
   
   $Pr\left\{\left(11\le x\le 15\right)|N\left(\mathrm{10,4}\right)\right\}$?
   
   
6. Welchen Wert besitzt die Wahrscheinlichkeit
   
   $Pr\left\{\left(x>12\right)|N\left(\mathrm{10,4}\right)\right\}$?

Aufgaben, Lerneinheiten und Antworten