Ergänzung 2.1: Übergangswahrscheinlichkeiten

Die Einstein-Koeffizienten

Welche Umstände müssen gegeben sein, damit ein Verstärkungseffekt für Photonen in einem Laser wirklich stattfindet?

Wir betrachten einen Raum, in dem sowohl Atome im Grundzustand als auch im angeregten Zustand vorhanden sind; es soll nur ein angeregter Zustand betrachtet werden. Die Anzahl der Atome im Grundzustand wird mit $N_{1}$ , die der Atome im angeregten Zustand mit $N_{2}$ bezeichnet. Außerdem sind Photonen vorhanden, deren Energie der Laserwellenlänge entspricht und die mit den Atomen wechselwirken können. Wir bezeichnen die Zustände, die an der Erzeugung von Laserlicht beteiligt sind, auch als Laserniveaus.

Ein Photon kann entweder auf ein Atom im Grundzustand oder auf eines im angeregten Zustand treffen. Im ersten Fall wird es mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit absorbiert und das Atom wechselt vom Grundzustand in den angeregten Zustand. Die Wahrscheinlichkeit der Absorption wird durch den ersten Einstein-Koeffizienten $B_{12}$ beschrieben; dabei steht der Index 1 für den Grundzustand und der Index 2 für den angeregten Zustand.

Die zeitliche Änderung der Anzahl der Atome im Grundzustand durch Absorption eines Photons, ${(\frac{d N_{1}}{d t})}_{a b s}$ , ist proportional zur Anzahl der Atome im Grundzustand, $N_{1}$ , und der Dichte der Photonen mit der zur Absorption passenden Frequenz, $ρ (f)$ . Mit dem Einstein-Koeffizienten $B_{12}$ als Proportionalitätsfaktor erhält man die Gleichung

{(\frac{d N_{1}}{d t})}_{a b s} =- B_{12} \cdot ρ (f) \cdot N_{1}

Analog zu dieser Herleitung gilt für die zeitliche Änderung der Anzahl von Atomen im angeregten Zustand mit dem zweiten Einstein-Koeffizienten $B_{21}$ :

{(\frac{d N_{2}}{d t})}_{i n d . E m .} = - B_{21} \cdot ρ (f) \cdot N_{2}

Dabei ist $B_{21} = B_{12}$ . Die Wahrscheinlichkeit der Absorption bei einem Treffen eines Photons auf ein Atom im Grundzustand ist also identisch mit der Wahrscheinlichkeit einer induzierten Emission bei einem Treffen eines Photons auf ein Atom im angeregten Zustand.

Herleitung ↓

Neben den Gleichungen für Absorption und induzierte Emission fehlt noch die Gleichung für die spontane Emission. Da die Emission spontan - also von selbst - stattfindet, ist sie nicht von der Intensität des Strahlungsfeldes $ρ (f)$ abhängig. Die Gleichung, welche dies beschreibt, lautet:

{(\frac{d N_{2}}{d t})}_{s p . E m .} = - A_{21} \cdot N_{2}

Im thermischen Gleichgewicht müssen die Raten der Übergänge zwischen dem Grundzustand und dem angeregten Zustand identisch sein, da sich das System nicht verändert. Man erhält also:

{(\frac{d N_{1}}{d t})}_{a b s} = {(\frac{d N_{2}}{d t})}_{s p . E m .} + {(\frac{d N_{2}}{d t})}_{i n d . E m .}

\Rightarrow B_{12} \cdot ρ (f) \cdot N_{1} = (A_{12} + B_{12} \cdot ρ (f)) \cdot N_{2}

Jetzt kann nach dem Besetzungsverhältnis umgestellt werden, das durch die Boltzmann-Verteilung (zu der es in diesem Kapitel ebenfalls eine Seite gibt) beschrieben wird. Die Energiedifferenz der Niveaus wird durch $h \cdot f$ ausgedrückt:

\frac{N_{1}}{N_{2}} = \frac{A_{21} + B_{21} \cdot ρ (f)}{B_{12} \cdot ρ (f)} = e^{\frac{h \cdot f}{k \cdot T}}

Auflösen nach der Energiedichte ergibt:

ρ (f) = \frac{A_{21}}{e^{\frac{h \cdot f}{k \cdot T}} \cdot B_{12} - B_{21}}

Lässt man nun die Temperatur gegen unendlich gehen (wo die Gleichung ebenfalls zutreffen muss), wird auch $ρ (f) \to \infty$ .

Weil $A_{21} < \infty$ ist, folgt, dass der Nenner Null werden muss. Damit wird: $B_{12} = B_{21}$ .

Die Änderung der Anzahl von Atomen im Grundzustand entspricht genau der Änderung der Anzahl von Photonen entsprechender Energie, denn für jedes Atom, das aus dem Grundzustand in den angeregten Zustand übergeht, verschwindet auch ein Photon.

Die Änderung der Anzahl von Atomen im angeregten Zustand entspricht genau der negativen Änderung der Anzahl von Photonen entsprechender Energie, denn für jedes Atom, das durch induzierte Emission aus dem angeregten Zustand in den Grundzustand übergeht, wird ein zusätzliches Photon frei.

Also ergibt sich aus der Forderung, dass die Anzahl der Photonen wachsen soll:

{(\frac{d N_{2}}{d t})}_{i n d . E m .} - {(\frac{d N_{1}}{d t})}_{a b s} > 0

\Rightarrow B_{21} \cdot ρ (f) \cdot N_{2} - B_{12} \cdot ρ (f) \cdot N_{1} > 0

\Rightarrow N_{2} > N_{1}

Zur Erzeugung von Laserlicht ist es also notwendig, dass mehr Atome im angeregten Zustand als im Grundzustand vorliegen. Man nennt diesen Zustand eine Besetzungsinversion.

Zur Erzeugung von Laserlicht ist eine Besetzungsinversion notwendig.

Fernerkundung mit Lasern

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