Supplément 4.4: Polarisation des ondes électromagnétiques : Vecteurs et matrices de Jones (1/2)

La polarisation peut être représentée plus facilement et plus clairement si les composantes y et z du champ électrique sont décrites par des éléments vectoriels. L'interaction de la lumière et de la matière modifie, par exemple, son intensité et sa polarisation en raison de la réflexion ou de la réfraction. Ces changements peuvent être facilement décrits par une matrice qui interagit avec le vecteur et modifie ses valeurs. Cette procédure a été développée par R. Clark Jones, c'est pourquoi les vecteurs de champ et les matrices sont appelés vecteurs de Jones et matrices de Jones.

Composants de champ sous forme de matrice à colonnes : Vecteurs de Jones

Par souci de simplicité et de clarté, il est utile de décrire l'onde par une fonction exponentielle complexe plutôt que par une fonction sinusoïdale :

\vec{E} (x, t) = {\vec{E}}_{o} e^{i (k x - ω t)}

Fonctions exponentielles complexes ↓

La fonction exponentielle complexe est un exemple de fonctions complexes composées d'une partie réelle et d'une partie imaginaire : $z = ℜ (z) + i ℑ (z)$ . $ℜ$ représente la partie réelle, $ℑ$ la partie imaginaire et $i = \sqrt{- 1}$ est l'unité imaginaire.

Pour la fonction exponentielle complexe, les formules d'Euler suivantes sont valables :

e^{\pm i α} = cos α \pm i sin α

L'avantage de la fonction exponentielle complexe par rapport aux fonctions sinus et cosinus repose sur le fait qu'elles ne changent pas lorsqu'elles sont différenciées ou intégrées, ce qui facilite les calculs en cas de résolution d'équations différentielles par exemple.

Plusieurs relations peuvent être dérivées des formules d'Euler. Celles-ci sont utilisées dans les pages suivantes :

e^{i π} = - 1 e^{i π / 2} = i e^{- i π / 2} = - i

Il s'agit d'une onde plane se propageant dans la direction x, bien que la représentation suivante puisse également être utilisée pour les ondes à propagation radiale et autres. Nous écrivons le champ électrique sous la forme d'un vecteur colonne dont les composantes se trouvent dans le plan y,z. Il s'agit du vecteur de Jones :

\vec{E} = (\begin{matrix} E_{y} \\ E_{z} \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{y, o} e^{i (k x - ω t)} \\ E_{z, o} e^{i (k x - ω t + φ)} \end{matrix})

Souvent, seules les amplitudes et les phases des composantes de l'onde sont intéressantes, au lieu des propriétés spectrales de la lumière, lorsqu'on étudie la polarisation. Dans ce cas, on peut omettre la fonction exponentielle qui décrit l'onde monochromatique et l'écrire à la place :

(\begin{matrix} E_{y, o} e^{i φ_{y}} \\ E_{z, o} e^{i φ_{z}} \end{matrix})

Equations ↓

On peut simplifier encore plus et assimiler l'intensité à 1 si seul le type de polarisation nous intéresse. L'intensité est cependant proportionnelle à la deuxième puissance du champ, comme cela a été montré dans la section sur les ondes électromagnétiques. Le résultat de $E_{y}^{2} + E_{z}^{2}$ sera donc égal à 1. Ceci explique les expressions du tableau suivant des vecteurs de Jones pour différentes polarisations.

Vecteur Jones	Vecteur de Jones pour intensité=1	Type de polarisation
$(\begin{matrix} E_{y, o} e^{i φ_{y}} \\ 0 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$	linéaire le long de l'axe y
$(\begin{matrix} 0 \\ E_{z, o} e^{i φ_{z}} \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$	linéaire le long de l'axe z
$E_{y, o} e^{i φ_{y}} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$	$\frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$	linéaire en diagonale dans les premier et troisième quadrants du plan y,z
$E_{y, o} e^{i φ_{y}} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})$	$\frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})$	linéaire en diagonale dans les deuxième et quatrième quadrants du plan y,z
$E_{y, o} e^{i φ_{y}} (\begin{matrix} 1 \\ - i \end{matrix})$	$\frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ - i \end{matrix})$	circulaire droite
$E_{y, o} e^{i φ_{y}} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$	$\frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$	circulaire gauche

Exemple : polarisation circulaire droite ↓

Dans ce type de polarisation, la composante z de l'onde est à 90° resp. $π / 2$ en avant de la composante y de l'onde. Par conséquent, avec $E_{y, o} = E_{z, o}$ , le résultat est le suivant :

\begin{array}{l} (\begin{matrix} E_{y, o} e^{i φ_{y}} \\ E_{z, o} e^{i φ_{z}} \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{y, o} e^{i φ_{y}} \\ E_{y, o} e^{i (φ_{y} - \frac{π}{2})} \end{matrix}) \\ = E_{y, o} e^{i φ_{y}} (\begin{matrix} 1 \\ e^{- i \frac{π}{2}} \end{matrix}) = E_{y, o} e^{i φ_{y}} (\begin{matrix} 1 \\ - i \end{matrix}) \end{array}

Cette méthode utilise des ondes monochromatiques et n'est donc applicable qu'à une lumière complètement polarisée.

Le spectre de la Terre

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Composants de champ sous forme de matrice à colonnes : Vecteurs de Jones