Ergänzung 4.4: Polarisation elektromagnetischer Wellen: Jones-Vektoren und Jones-Matrizen (1/2)

Die Polarisation des Lichts kann sehr viel übersichtlicher dargestellt werden, wenn die y- und z-Komponenten des elektrischen Felds als Elemente eines Vektors geschrieben werden. Trifft das Licht auf ein Objekt und ändert zum Beispiel durch Reflexion oder Brechung seine Intensität und Polarisation, so kann dies durch eine Matrix beschrieben werden, die auf den Vektor wirkt und seine Werte entsprechend ändert, was die Rechnung sehr vereinfacht. Dieses Verfahren wurde von R. Clark Jones entwickelt, die Feldvektoren und Matrizen werden daher als Jones-Vektoren und Jones-Matrizen bezeichnet.

Feldkomponenten als Spaltenmatrix: Jones-Vektoren

Zur Einfachheit und Übersichtlichkeit trägt bei, die Welle mit der komplexen Exponentialfunktion statt mit dem Sinus zu schreiben:

\vec{E} (x, t) = {\vec{E}}_{o} e^{i (k x - ω t)}

Komplexe Exponentialfunktionen ↓

Die komplexe Exponentialfunktion ist ein Beispiel komplexer Funktionen, die aus einem Realteil und einem Imaginärteil bestehen: $z = ℜ (z) + i ℑ (z)$ . $ℜ$ bezeichnet den Realteil, $ℑ$ den Imaginärteil, und $i = \sqrt{- 1}$ ist die imaginäre Einheit.

Für die komplexe Exponentialfunktion gelten die Eulerschen Formeln:

e^{\pm i α} = cos α \pm i sin α

Der Vorteil der komplexen Exponentialfunktion im Vergleich zu den Sinus- und Kosinusfunktionen liegt darin, dass sie beim Differenzieren und Integrieren erhalten bleibt, was das Rechnen sehr vereinfacht, wenn zum Beispiel Differenzialgleichungen zu lösen sind.

Aus den Eulerschen Formeln folgen Beziehungen, die auf diesen Seiten genutzt werden:

e^{i π} = - 1 e^{i π / 2} = i e^{- i π / 2} = - i

Dies ist eine in Richtung x laufende ebene Welle, die folgende Darstellung gilt aber in gleicher Weise auch für z.B. radial sich ausbreitende und andere Wellen. Wir schreiben das elektrische Feld als Spaltenvektor mit den Komponenten in der y,z-Ebene. Dies ist der Jones-Vektor:

\vec{E} = (\begin{matrix} E_{y} \\ E_{z} \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{y, o} e^{i (k x - ω t)} \\ E_{z, o} e^{i (k x - ω t + φ)} \end{matrix})

Oft sind statt der spektralen Eigenschaften des Lichts bei Untersuchungen zur Polarisation nur die Amplituden und Phasen der Teilwellen von Belang. Dann kann man auf den Teil der Exponentialfunktion, der die monochromatische Welle beschreibt, verzichten und kürzer schreiben:

(\begin{matrix} E_{y, o} e^{i φ_{y}} \\ E_{z, o} e^{i φ_{z}} \end{matrix})

Man kann noch weiter vereinfachen und die Intensität gleich 1 setzen, wenn nur die Art der Polarisation von Bedeutung ist. Die Intensität ist allerdings dem Quadrat der Feldstärke proportional, wie im Abschnitt über elektromagnetische Wellen gezeigt wurde. Das Ergebnis von $E_{y}^{2} + E_{z}^{2}$ soll daher 1 ergeben. Dies erklärt die Ausdrücke in der folgenden Tabelle der Jones-Vektoren verschiedener Polarisationsarten.

Jones-Vektor	Jones-Vektor für Intensität=1	Polarisationsart
$(\begin{matrix} E_{y, o} e^{i φ_{y}} \\ 0 \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$	linear längs der y-Achse
$(\begin{matrix} 0 \\ E_{z, o} e^{i φ_{z}} \end{matrix})$	$(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$	linear längs der z-Achse
$E_{y, o} e^{i φ_{y}} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$	$\frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$	linear diagonal im ersten und dritten Quadranten der y,z-Ebene
$E_{y, o} e^{i φ_{y}} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})$	$\frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})$	linear diagonal im zweiten und vierten Quadranten der y,z-Ebene
$E_{y, o} e^{i φ_{y}} (\begin{matrix} 1 \\ - i \end{matrix})$	$\frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ - i \end{matrix})$	rechts zirkular
$E_{y, o} e^{i φ_{y}} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$	$\frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$	links zirkular