Ergänzende Hinweise zum Arbeitsblatt 4.1: Ein Absorptionsphotometer, selbst gebaut (4/4)

Wir beginnen mit der Transmission des Lichts über eine Strecke x,

T= I(x) I o = e −ax

und leiten sie nach dem Absorptionskoeffizienten ab:

dT da =−x  e −ax =−xT

Nun interpretieren wir die Differenziale da und dT als Fehler Δa des berechneten Absorptionskoeffizienten infolge eines Fehlers ΔT der Messung der Transmission. Hieraus folgt unmittelbar für den absoluten Fehler des Absorptionskoeffizienten:

Δa=− 1 x ΔT T =− e ax x ΔT

Der relative Fehler wird:

Δa a =− 1 ax ΔT T =− e ax ax ΔT

Um ein mögliches Minimum des relativen Fehlers zu finden, leiten wir ihn nach dem Absorptionskoeffizienten a ab,

d da ( e ax ax )ΔT=( x e ax ax − e ax a 2 x )ΔT

und setzen die Ableitung gleich Null, womit nach vielen Kürzungen folgt:

ax=1

Die Messstrecke, welche den geringsten Fehler des berechneten Absorptionskoeffizienten ergibt, ist somit zahlenmäßig gleich dem inversen Absorptionskoeffizienten:

x= 1 a

Setzt man dies in die Gleichung für die Transmission ein, so folgt:

T= I(x) I o = e −a/a = 1 e =0,368...

Die besten Bedingungen für eine genaue Messung liegen vor, wenn die Intensität des Lichts durch Absorption auf etwa 37% des Anfangswerts geschwächt ist.

Aufgabe: Relative und absolute Fehler des Absorptionskoeffizienten ↓
Lösung: Relative und absolute Fehler des Absorptionskoeffizienten ↓