Supplement 3.3: Polarisatie van elektromagnetische golven: Stokes vectoren en Müller matrices (2/2)

Optische interacties als 4×4 matrix: Müller matrices

De elementen van een Stokes vector $\vec{S}$ veranderen als ze worden vermenigvuldigd met een 4×4 matrix. Deze matrix geeft interacties aan van licht met een optisch element, of een ander optisch effect dat de intensiteit en polarisatie beïnvloedt. Wanneer de Stokes vector na de interactie - net als de Jones vector in de vorige paragraaf - als een gestippelde grootheid wordt weergegeven, kan deze worden geschreven:

(\begin{matrix} I_{y}' \\ I_{z}' \\ U' \\ V' \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} & ... & ... & a_{14} \\ ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{41} & ... & ... & a_{44} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} I_{y} \\ I_{z} \\ U \\ V \end{matrix}) \Leftrightarrow \vec{S}' = M \cdot \vec{S}

De intensiteitstransformatiematrix $M$ is de Müller matrix.

Om de Müller matrix voor een interactie te vinden, kan men (als het niet in de literatuur staat) teruggaan naar de eenvoudiger toegankelijke transformatie van de veldsterktes

\begin{array}{l} E_{y}^{'} = a_{1} E_{y} + a_{4} E_{z} \\ E_{z}^{'} = a_{3} E_{y} + a_{2} E_{z} \end{array}

en de gestippelde veldsterkte toepassen op de definitie van de Stokes parameters. Na het sorteren van de ontstane termen worden elementen van de Müller matrix identificeerbaar.

Voorbeeld 1: Matrix van een vertrager, snelle as in y-richting ↓

De matrix van een ideale vertrager met een faseverschil $φ$ van de golfdelen en een snelle as in y-richting kan worden verkregen uit de transformatie voor de veldsterkte:

E_{y}' = e^{- i φ / 2} E_{y} E_{z}' = e^{i φ / 2} E_{z}

Toegepast op de Stokes parameters vind je:

\begin{array}{l} I_{y}' = E_{y}' E_{y}^{*}' = E_{y} E_{y}^{*} = I_{y} \\ I_{z}' = E_{z}' E_{z}^{*}' = E_{z} E_{z}^{*} = I_{z} \\ U' = E_{y}' E_{z}^{*}' + E_{z}' E_{y}^{*}' = e^{- i φ} E_{y} E_{z}^{*} + e^{i φ} E_{z} E_{y}^{*} \\ = (cos φ - i sin φ) E_{y} E_{z}^{*} + (cos φ + i sin φ) E_{z} E_{y}^{*} \\ = cos φ U - sin φ V \\ V' = i (E_{y}' E_{z}^{*}' - E_{z}' E_{y}^{*}') = i (e^{- i φ} E_{y} E_{z}^{*} - e^{i φ} E_{z} E_{y}^{*}) \\ = i ((cos φ - i sin φ) E_{y} E_{z}^{*} - (cos φ + i sin φ) E_{z} E_{y}^{*}) \end{array}

De transformatie in matrixvorm:

(\begin{matrix} I_{y}' \\ I_{z}' \\ U' \\ V' \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & cos φ & - sin φ \\ 0 & 0 & sin φ & cos φ \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} I_{y} \\ I_{z} \\ U \\ V \end{matrix})

Voorbeeld 2: Matrix van de lineaire polarisator met diagonale oriëntatie ↓

De transformatie van de veldsterkte voor een ideale lineaire polarisator met diagonale oriëntatie in het eerste en derde kwadrant van het y,z-vlak:

\begin{array}{l} E_{y}' = \frac{1}{2} E_{y} + \frac{1}{2} E_{z} \\ E_{z}' = \frac{1}{2} E_{y} + \frac{1}{2} E_{z} \end{array}

Toegepast op de Stokes parameters:

\begin{array}{l} I_{y}' = E_{y}' E_{y}^{*}' = \frac{1}{4} E_{y} E_{y}^{*} + \frac{1}{4} E_{z} E_{z}^{*} + \frac{1}{4} (E_{y} E_{z}^{*} + E_{z} E_{y}^{*}) \\ = \frac{1}{4} (I_{y} + I_{z} + U) \\ I_{z}' = E_{z}' E_{z}^{*}' = \frac{1}{4} E_{y} E_{y}^{*} + \frac{1}{4} E_{z} E_{z}^{*} + \frac{1}{4} (E_{y} E_{z}^{*} + E_{z} E_{y}^{*}) \\ = \frac{1}{4} (I_{y} + I_{z} + U) \\ U' = E_{y}' E_{z}^{*}' + E_{z}' E_{y}^{*}' = \frac{1}{2} E_{y} E_{y}^{*} + \frac{1}{2} E_{z} E_{z}^{*} + \frac{1}{2} (E_{y} E_{z}^{*} + E_{z} E_{y}^{*}) \\ = \frac{1}{2} (I_{y} + I_{z} + U) \\ V' = i (E_{y}' E_{z}^{*}' - E_{z}' E_{y}^{*}') = 0 \end{array}

De transformatie in matrixvorm:

(\begin{matrix} I_{y}' \\ I_{z}' \\ U' \\ V' \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 / 4 & 1 / 4 & 1 / 2 & 0 \\ 1 / 4 & 1 / 4 & 1 / 2 & 0 \\ 1 / 2 & 1 / 2 & 1 / 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} I_{y} \\ I_{z} \\ U \\ V \end{matrix})

Kies zelf voorbeelden en ontdek in welke mate de intensiteit en het type polarisatie van licht veranderen tijdens de passage van de polarisator met deze oriëntatie!

Op de manier zoals het in de voorbeelden is uitgevoerd is het mogelijk om de Müller matrices te vinden voor de eerder besproken rotatie van de y,z coördinaten door de hoek $α$ . Dit leidt tot de rotatiematrix:

R (α) = (\begin{matrix} {cos}^{2} α & {sin}^{2} α & \frac{1}{2} sin 2 α & 0 \\ {sin}^{2} α & {cos}^{2} α & - \frac{1}{2} sin 2 α & 0 \\ - sin 2 α & sin 2 α & cos 2 α & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

De matrices van sommige componenten met hun basisoriëntatie in de rechterkolom kunnen worden overgebracht naar een oriëntatie onder de hoek $α$ :

M (α) = R (α) \cdot M \cdot R (- α)

Het effect van meerdere componenten op een rij zou op precies dezelfde manier worden berekend als de Jones matrices met behulp van het niet-commutatieve product van elke Müller matrix, voor n componenten:

M = M_{n} \cdot M_{n - 1} \cdot ... \cdot M_{2} \cdot M_{1}

In de laatste positie van een optische opstelling bevindt zich vaak een fotodetector om de intensiteit van het licht te meten. De detector kan worden afgebeeld als een rijvector $\vec{D} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix})$ waarmee de som van de eerste twee elementen van een Stokes vector wordt berekend:

I_{y}' + I_{z}' = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} I_{y}' \\ I_{z}' \\ U' \\ V' \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot M \cdot (\begin{matrix} I_{y} \\ I_{z} \\ U \\ V \end{matrix})

De rijmatrix van de detector kan verder worden gedetailleerd met spectrale factoren om rekening te houden met de golflengtegevoeligheid en de kwantumefficiëntie.

Müller matrix	Onderdeel of interactie
$P = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})$	Lineaire polarisator die langs de y-as uitzendt
$Q_{φ} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & cos φ & - sin φ \\ 0 & 0 & sin φ & cos φ \end{matrix})$	Vertrager met faseverschil $φ$ van de golfdelen, snelle as y-richting
$Q_{λ / 4} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix})$	$λ / 4$ vertrager ( $λ / 4$ golfplaat) met $φ = π / 2$ , snelle as in y-richting
$Q_{λ / 2} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix})$	$λ / 2$ vertrager ( $λ / 2$ golfplaat) met $φ = π$ , snelle as in y-richting
$T = \frac{n_{2} cos δ_{t}}{n_{1} cos δ} (\begin{matrix} t_{∥}^{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & t_{⊥}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t_{∥} t_{⊥} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t_{∥} t_{⊥} \end{matrix})$	Fresnelbreking bij een diëlektrisch grensvlak. De grootheden n₁ en n₂ zijn de brekingsindices van het invallende en het gebroken medium. Fresnelcoëfficiënten zoals gegeven in het gedeelte over de Jones matrices.
$X = (\begin{matrix} r_{∥}^{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & r_{⊥}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - r_{∥} r_{⊥} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - r_{∥} r_{⊥} \end{matrix})$	Fresnel reflectie op een diëlektrisch grensvlak. De negatieve tekens van de gemengde componenten zijn het gevolg van de richtingsverandering van de lichtpropagatie door reflectie. Fresnelcoëfficiënten zoals gegeven in het gedeelte over de Jones matrices.
$Y = (\begin{matrix} r_{∥}^{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & r_{⊥}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & s \\ 0 & 0 & - s & c \end{matrix})$ met de afkortingen $c = r_{∥} r_{⊥} cos Δ$ $s = r_{∥} r_{⊥} sin Δ$	Fresnel reflectie op een metalen oppervlak. Invalshoeken van 0 tot 90° veroorzaken fasehoeken Δ van 0 tot 180° tussen de orthogonale deelgolven. Alle grootheden zijn functies van de complexe brekingsindex m=n-in', waarbij n de reële brekingsindex is en n' de extinctiecoëfficiënt van het metaal, beide afhankelijk van de golflengte. Een meer gedetailleerde presentatie wordt gegeven in bijvoorbeeld David Clarke: Stellar Photometry (Wiley-VCH, 2010), Appendix A.

Taak: Licht door een

λ / 4

vertrager ↓

Bereken de Müller matrix van een $λ / 4$ -vertrager met de snelle as in de richting van de z-coördinaat.
Bereken het type polarisatie van het passerende licht voor een $λ / 2$ -vertrager met de snelle as in de richting van de z-coördinaat, voor inkomend licht met intensiteit 1 en met de volgende polarisaties:
a) lineair langs y
b) lineair diagonaal in het eerste en derde kwadrant
c) lineair langs z
d) lineair diagonaal in het tweede en vierde kwadrant

Je kunt de oplossingen op een andere pagina vinden. Probeer dit probleem eerst zelf op te lossen!

Inzicht in Spectra van de Aarde

Supplement 3.3: Polarisatie van elektromagnetische golven: Stokes vectoren en Müller matrices (2/2)

Optische interacties als 4×4 matrix: Müller matrices