Ergänzung 3.2: Polarisation elektromagnetischer Wellen: Jones-Vektoren und Jones-Matrizen (2/2)

Optische Wechselwirkungen als 2×2-Matrix: Jones-Matrizen

Nach einer optischen Wechselwirkung kennzeichnen wir die Feldkomponenten als gestrichene Größen. Sie ergeben sich als Linearkombinationen der ursprünglichen Komponenten:

In Matrixform:

Die Amplitudentransformationsmatrix $A$ ist die Jones-Matrix.

Ziel ist es nun, für jeden Typ eines optischen Bauteils, das die Polarisation des Lichts ändert, eine Jones-Matrix zu finden. Allerdings ist der optische Effekt solcher Bauteile davon abhängig, in welcher Orientierung sie in einem Strahlengang untergebracht sind: ein Linearpolarisator, um ein Beispiel zu nennen, beeinflusst polarisiertes Licht je nach seiner Orientierung ganz unterschiedlich. Dies trifft in gleicher Weise auch auf die Brechung eines Lichtstrahls an einer lichtbrechenden Oberfläche (Glas, Wasser, ...) zu.

Diese Frage lässt sich lösen, wenn wir für Bauteile oder optische Wechselwirkungen, welche die Polarisation beeinflussen, jeweils eine Jones-Matrix für eine definierte Orientierung im Koordinatensystem formulieren. Die Matrix für andere Orientierungen lässt sich finden, wenn wir durch eine Drehung der y- und z-Koordinaten das polarisierte Licht so ausrichten, wie es mit dem Bauteil wechselwirken soll, und anschließend wieder in die ursprünglichen Koordinaten zurückführen.

Eine Drehung der y- und z-Koordinaten um einen Winkel $\alpha$ in ein anderes y'- und z'-Koordinatensystem wie in der folgenden Grafik ...

... geschieht mit diesen Gleichungen:

 

Die Koeffizienten des Gleichungssystems sind die Elemente der Drehmatrix:

Bezeichnen wir die Amplitudentransformationsmatrizen von Bauteilen in der festzulegenden Basisorientierung mit $A$ und in einer Orientierung unter dem Winkel $\alpha$ mit $A(\alpha )$, so gilt für diese Orientierung:

In der Tabelle sind Beispiele von Jones-Matrizen angegeben. Sie gelten für idealisierte Eigenschaften, d.h. für absorptions- und reflexionsfreie Bauteile und für perfekt ebene Oberflächen.

Jones-Matrix	Bauteil oder Wechselwirkung
$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$	Linearpolarisator mit Durchlass längs der y-Achse
$\left(\begin{array}{cc}{\text{e}}^{-i\phi /2}& 0\\ 0& {\text{e}}^{i\phi /2}\end{array}\right)$	Verzögerer mit einer Phasendifferenz $\phi$ der Teilwellen, schnelle Achse in Richtung y
$\left(\begin{array}{cc}{\text{e}}^{-i\pi /4}& 0\\ 0& {\text{e}}^{i\pi /4}\end{array}\right)$	$\lambda /4$-Verzögerer ($\lambda /4$-Blättchen) mit $\phi =\pi /2$, schnelle Achse in Richtung y
$\left(\begin{array}{cc}{\text{e}}^{-i\pi /2}& 0\\ 0& {\text{e}}^{i\pi /2}\end{array}\right)$	$\lambda /2$-Verzögerer ($\lambda /2$-Blättchen) mit $\phi =\pi$, schnelle Achse in Richtung y
$\left(\begin{array}{cc}{t}_{\parallel }& 0\\ 0& t_{\perp }\end{array}\right)$	Fresnel-Brechung an dielektrischen Stoffen, mit Einfallswinkel ${\delta }_i$ und Brechwinkel ${\delta }_t$, die y-Achse liegt in der Einfallsebene und die z-Achse steht senkrecht auf der Einfallsebene, und mit den Fresnel-Amplitudenkoeffizienten für Brechung: $\begin{array}{l}{t}_{\parallel }=2sin{\delta }_{t}cos{\delta }_i/\left(sin({\delta }_i+{\delta }_t)cos({\delta }_i-{\delta }_t)\right)\\ t_{\perp }=2sin{\delta }_{t}cos{\delta }_i/sin({\delta }_i+{\delta }_t)\end{array}$
$\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}{r}_{\parallel }& 0\\ 0& r_{\perp }\end{array}\right)$	Fresnel-Reflexion an dielektrischen Stoffen, mit Einfallswinkel ${\delta }_i$ und Brechwinkel ${\delta }_t$, die y-Achse liegt in der Einfallsebene und die z-Achse steht senkrecht auf der Einfallsebene, und mit den Fresnel-Amplitudenkoeffizienten für Reflexion: $\begin{array}{l}{r}_{\parallel }=-tan\left({\delta }_i-{\delta }_t\right)/tan\left({\delta }_i+{\delta }_t\right)\\ r_{\perp }=-sin\left({\delta }_i-{\delta }_t\right)/sin\left({\delta }_i+{\delta }_t\right)\end{array}$ Die linke Matrix kennzeichnet die Richtungsänderung infolge der Reflexion.
$\left(\begin{array}{cc}cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{array}\right)$	Drehung um den Winkel $\alpha$

Die Funktion mehrerer Bauteile in Reihe berechnet sich aus dem Produkt der jeweiligen Matrizen. Für n Bauteile ist:

wobei $A_1$ das erste und $A_n$ das letzte Bauteil in der Reihe ist. Die Matrizen sind nicht kommutativ (Vertauschen der Bauteile wäre ebenfalls nicht ohne Folgen).