الملحق رقم 1.1: معادلات Maxwell

نعتبر أن متجهات المجال الكهربائي $\vec{E}$ و المجال المغناطيسي $\vec{B}$ موجود مع شحنة كهربائية كثافتها ρ و أن الكثافة الحالية $\vec{j}$ . إن خصائص المادة الكهربائية والمغناطيسية معطاة بالنفاذية الكهربائية ε و النفاذية المغناطيسية μ. حيث أن ε=ε_oε_r و μ=μ_oμ_r,، مع النفاذية الكهربائية النسبية ε_r و النفاذية المغناطيسية النسبية μ_r للمادة، حيث أن ε_o و μ_o هما النفاذية الكهربائية و النفاذية المغناطيسية بالفراغ على التوالي.

Units of quantities, values of constants ↓

We note the units of these quantities as well as the values of the dielectric constant and the magnetic field constant. This will be needed more often later on.

[\vec{E}] = \frac{N}{C} = \frac{V}{m}

[\vec{B}] = \frac{N}{C m/s} = Tesla

[ρ] = \frac{C}{m^{3}}

[\vec{j}] = \frac{A}{m^{2}}

ε_{o} = 8.854 \cdot 10^{- 12} \frac{A s}{V m}

μ_{o} = 1.26 \cdot 10^{- 6} \frac{V s}{A m}

The material properties $ε_{r}$ and $μ_{r}$ are dimensionless; in a vacuum, their values are equal to 1.

تجمع معادلات Maxwell بين كل هذه الكميات في منظومة من أريع معادلات تكاملية أو معادلات تفاضلية. الفهم البديهي غالبا ما يكون أسهل مع المعادلات التكاملية، و هذا هو السبب الذي يجعل الشكل التكاملي أكثر إستخدما في الفيزياء. المعادلات التفاضلية معطاة هنا:

\nabla \cdot \vec{E} = \frac{ρ}{ε}

\nabla \cdot \vec{B} = 0

أي أن الشحنة الكهربائية هي مصدر المجال الكهربائي في حين أنه لا وجود للشحنة المغناطيسية؛ و

\nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

\nabla \times \vec{B} = μ \vec{j} + ε μ \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

يسبب المجال المغناطيسي المتفاوت زمنيا تكور بالحقل الكهربائي، و كذلك يسبب المجال الكهربائي أو التيار الكهربائي المتفاوت زمنيا تكور بالحقل المغناطيسي.

معادلات Maxwell في الشكل التكاملي ↓

إن المصطلحان ∇⋅ و ∇× يدلان على الإنحراف و التكور للمتجهة الذي يتبع. و هذه مشتقات فيزيائية للمتجهةات و ذلك بإستخدام العامل الرياضي nabla (∇) و الذي يعتبر أيضا متجهة. يدل الرمزان "⋅" و "×" على الضرب النقطي و الضرب المتجهي لمتجهين. على سبيل المثال، في الإحداثيات (x,y,z) بالمستوى الديكارتي يكون نص العامل nabla و المجال الكهربائي E كما يلي:

\nabla = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})

\vec{E} = (E_{x}, E_{y}, E_{z})

و أما الإنحراف و التكور لـ $\vec{E}$ هما:

\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\partial E_{x}}{\partial x} + \frac{\partial E_{y}}{\partial y} + \frac{\partial E_{z}}{\partial z}

\nabla \times \vec{E} = (\frac{\partial E_{z}}{\partial y} - \frac{\partial E_{y}}{\partial z}, \frac{\partial E_{x}}{\partial z} - \frac{\partial E_{z}}{\partial x}, \frac{\partial E_{x}}{\partial y} - \frac{\partial E_{y}}{\partial x})

نشير إلى الكتب المدرسية عن التفاضل الشعاعي إذا لم تكن على علم بهذه العمليات، على سبيل المثال، Murray R. Spiegel, 1959: Schaum's Outline of Vector Analysis (McGraw Hill) ص 225.

السؤال الأول: إنحراف و تكور المتجهة ↓

أثبت أن المعادلات أعلاه للإنحراف ∇⋅ E → و التكور ∇× E → لمتجهة المجال الكهربائي صحيحة. هل هذه الحدود هي قيم سلمية أم متجهات؟

السؤال الثاني: تدرج القيم السليمة ↓

لتكتمل الفكرة يمكن تطبيق العامل ∇ أيضا مع قيم سلمية. لنفرض أن φ(x,y,z) هو أقتران تدرجي في الفضاء يمثل على سبيل المثال الحمل الكهربائي. بالتالي فإن المصطلح ∇φ يشير إلى مشتقة φ، و يدعى أيضا غراد φ. و يعتبر ∇φ متجهة حيث أن المتجهة ∇ مضروب بالقيمة السليمة φ.

أكتب ∇φ بالعناصر على طول المحاور x و y و z.

فهم الأطياف الضوئية من الأرض

الملحق رقم 1.1: معادلات Maxwell