12. Aufgaben und Antworten

Kapitel 2: Die Häufigkeitsverteilung

• Aufgabe c01-01
  Erstellung des Graphen einer Häufigkeitsverteilung
  • Schülerversion
  • Lehrerversion
  
  
• Übung - Import von Textdateien in Excel
  
  
• Übung - Erstellung einer Häufigkeitsverteilung in Excel
  
  
• Frage 1: Was sagt die Häufigkeitsverteilung über Ihre Daten aus?
  
  Antwort:
  1. Wieviele Höchstwerte die Daten enthalten.
  2. Ob die Daten schief sind, also in eine Richtung verschoben, oder gleichmäßig um einen mittleren Wert verteilt.
  3. Welche Bereiche die Werte relativ zu ihren Proportionen einnehmen.
  
  
  

Kapitel 2: Die relative Häufigkeitsverteilung

• Aufgabe c02-01 - Erstellung einer relativen Häufigkeitsverteilung
  
  
• Aufgabe c02-02 -
  Häufigkeitsverteilungen auf Satellitenbilder anwenden
  
  
• Frage 1: Die relative Häufigkeitsverteilung oder das Histogramm für das gesamte Bild weist drei Maxima auf, während die Histogramme für Sand und Wasser dies nicht tun. Woran liegt das?
  
  Antwort: Die Histogramme für Sand und Wasser stellen jeweils nur eine Art der Landbedeckung dar, auf dem Bild ist jedoch eine Vielzahl an Landbedeckungen zu sehen und einige dieser Flächen sind so unterschiedlich, dass sie im Histogramm zu der Ausbildung von drei Höchstwerten führen.
  
  
• Frage 2: Das Histogramm für die Fläche mit Nadelholz-Anpflanzung tut dies ebenfalls nicht. Warum nicht?
  
  Antwort: Die Versuchsfläche mit Nadelholz-Anpflanzung zeichnet sich durch schwankende Bedingungen aus, die zu Unterschieden in den Datenwerten und mehreren Maxima führt.
  
  
• Frage 3: Welche Arten der Landbedeckung werden in den drei Maxima im Histogramm des Gesamtbildes dargestellt?
  Antwort: In dem Histogramm zum gesamten Bild gibt es drei Höchstpunkte, von denen einer durch das Wasser als Landbedeckung verursacht wird und ein weiterer durch Nadelgehölz-Anpflanzungen. Das dritte Maxima stellt Wohn- und Gewerbegebiete dar.
  
  

Kapitel 2: Wertmaße

• Übung c03-01 -
  Nutzung von ILWIS zur Erstellung von Histogrammen
  
  
• Frage 1: In dem obenstehenden Diagramm sind Mittelwert, Median und Modalwert als Linien dargestellt, die mit (A), (B) und (C) beschriftet sind. Welche dieser Linien zeigt den Mittelwert an, welche steht für Median und Modalwert?
  Antwort: A = Modalwert, B = Mittelwert, C = Median
  
  
• Frage 2: Wir haben den Mittelwert, $\overline{x}$, einer Stichprobe besprochen. Wie lautet der Mittelwert der Grundgesamtheit, µ, und weicht dieser von dem Mittelwert der Stichprobe ab? Wenn ja, warum?
  Antwort: Der Mittelwert der Grundgesamtheit wird berechnet, indem alle Elemente einer Grundgesamtheit berücksichtigt werden. Der Mittelwert der Grundgesamtheit unterscheidet sich normalerweise immer etwas vom Mittelwert der Stichprobe, da nicht all ihre Elemente in einer Stichprobe enthalten sind. Je größer eine Stichprobengruppe ist, desto näher aneinander liegen die beiden Werte normalerweise.
  
  
• Frage 3: Wenn wir die Unterschiede zwischen den einzelnen Beobachtungen $x_1,x_2,\dots ,x_n$ nennen und den Mittelwert, $\overline{x}$ , dann zeigen die Residuen, nutzt man einen Datensatz, das die kleinste Summe der Quadrate der Residuen dann auftritt, wenn man den Mittelwert nutzt. Dieser lautet:
  $Sof{S}_{smallest}={\sum \{x_1-\overline{x}\}}^2$
  
  Antwort: Ist $$x_i=$$ 23,5; 22,1; 24,2; 23,6; und 25,35 dann beträgt der Mittelwert = 23,75 und die Varianzen, die verschiedene Werte für den Mittelwert nutzen, sind

  23,75	1,3925
  24	1,4706
  25	3,3406
  23	2,0956
  23,7	1,3956

  Mittelwert = 81,729, Median = 128, Modalwert = 83.
  

Kapitel 2: Die multidimensionale Häufigkeitsverteilung

• Übung c05-ws01 - Erstellung von Streuungsdiagrammen
  • Schülerversion
  • Lehrerversion

Kapitel 2: Kovarianz und Korrelation

• Übung c06-ws01 - Korrelation bei Satellitendaten
  
  

Kapitel 2: Wahrscheinlichkeit

• Frage 1: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man beim Würfeln mindestens eine Sechs erhält?
  Antwort: Es gibt sechs mögliche Kombinationen, bei denen eine Sechs vorkommt. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Sechs geworfen wird beträgt 6·(1/36) oder 1/6.
  
  
• Frage 2: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs als Summe aus den Augenzahlen beider Würfel zu erhalten?
  Antwort: Es gibt 5 Kombinationen der Summe der beiden Würfel, die eine Sechs ergeben. Die Antwort lautet daher 5/36.
  
  
• Frage 3: Wenn Pie in the Sky das erste Rennen gewinnt, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass Doughboy das zweite gewinnt?
  Antwort: 0,35 da die Wahrscheinlichkeit, das zweite Rennen zu gewinnen, unabhängig davon ist, was im ersten Rennen geschehen ist.
  
  
• Frage 4: Wie groß ist die Wahrscheilichkeit dafür, dass Raddish beide Rennen gewinnt?
  Antwort: 0,05*0,1=0,005
  
  
• Frage 5: Was ist die wahrscheinlichste Gewinnkombination?
  Antwort: Pie in the Sky gewinnt das erste und Doughboy das zweite Rennen mit einer Wahrscheinlickeit von 0,115.
  
  
• Frage 6: Sie möchten mehr als einmal auf beide Rennen wetten, wobei Sie eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 25% oder mehr bei den von ihnen ausgewählten Kombinationen erreichen wollen. Auf wieviele Kombinationen müssen Sie mindestens wetten, um eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 30% zu erhalten?
  Antwort: 7,2 Drei; Pie in the Sky und Doughboy = 0,1050, Atlantis Star und Doughboy = 0,0980 und Mums the Word und Doughboy = 0,0875
  
  
• Frage 7: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Sie aus einem Stapel mit 52 Karten in vier verschiedenen Farben als nächste ausgeteilte Karte einen König erhalten?
  Antwort: Pr{König} = 4/52 = 0,0769
  
  
• Frage 8: Sie bekommen ein Blatt aus 5 Karten von einem Stapel mit 52 Karten ausgeteilt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, ein As zu erhalten?
  Antwort: Pr{As in fünf Karten} = 4/52+4/51+4/50+4/49+4/48 = 0,4
  
  
• Frage 9: Sie bekommen wieder fünf Karten ausgeteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie fünfmal Pik bekommen?
  Antwort: Pr{Fünf Pik} = (13/52) (12/51) (11/50) (10/49) (9/48) = 0,0000105
  
  

Kapitel 2: Binomialverteilung

• Frage 1: Was ist die theoretische WDF für die Wahl einer Karte mit einer bestimmten Zahl oder einem bestimmten Bild (wie As, 2, 3, Bube etc.) aus einem Stapel mit 52 Karten? (Mischen Sie einen Stapel mit 52 Karten und wählen Sie dann eine einzelne Karte aus. Wiederholen Sie diesen Vorgang 30 mal, um Stichprobenergebnisse zu erhalten, auf deren Grundlage Sie die Frage bearbeiten können.)
  Antwort: Die theoretische Verteilung ist die Binomialverteilung der Form $f(x)=\left[nx\right]\cdot \left(1/13\right)x\cdot \left(12/13\right)\left(n-x\right)$, wobei in [n x] gemäß der Binomialgleichung das n über dem x steht und das x sowie (n - x) jeweils für (1/13) und (12/13), ebenfalls laut der Gleichung der Binomialfunktion.
  
  
• Frage 2: Mischen Sie den Stapel einmal und ziehen Sie dann zufällig 30 Karten. Inwiefern weicht diese WDF von der in Frage 1 gefundenen WDF ab?
  Antwort: Die Antwort hängt von den Ergebnissen der Schüler ab.
  
  

Kapitel 2: Normalverteilung

• Frage 1: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Wert innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert Pr{(-1≤z≤1)|N(0, 1)} auftritt?
  Antwort: Schauen Sie in der Tabelle der standardnormalverteilten WDF beim Wert 1,00 nach und Sie finden eine Wahrscheinlichkeit von 0,3413. Dies ist die Standardabweichung, die vom Zentrum der Normalverteilungskurve ausgehend in eine Richtung reicht, Sie müssen den Wert daher verdoppelt, wodurch Sie 0,6826 als Ergebnis erhalten.
  
  
• Frage 2: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Wert in einem Bereich innerhalb von 8 bis 12 Standardabweichungen von der normalverteilten WDF liegt, N(10,4)? Wandeln Sie x=8 und 12 zunächst in z-Werte um.
  Antwort: 0,6826
  
  
• Frage 3: Welchen Wert besitzt die Wahrscheinlichkeit
  Pr{(10≤x≤14)|N(10,4)}?
  Antwort: 0,4772
  
  
• Frage 4: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit
  Pr{(9≤x≤14)|N(10,4)}?
  Antwort: 0,3023
  
  
• Frage 5: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit
  Pr{(11≤x≤15)|N(10,4)}?
  Antwort: 0,6687
  
  
• Frage 6: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit
  Pr{(x>12)|N(10,4)}?
  Antwort: 0,1587