2. مدارات ومعاملات الأقمار الصناعية لنظام (GPS)

يتكون نظام تحديد المواقع العالمي (GPS) الحالي في الفضاء من 24 قمراً صناعياً على الأقل. توجد أقمار GPS الصناعية على ارتفاع 20200 كم فوق سطح الأرض وتتحرك في مسار دائري تقريبًا على طول المدار المركزي للأرض.

صورة قمر GPS صناعي.

يمكن حساب السرعة أو السرعة المتجهة بالإضافة إلى وقت الدورة الكاملة لقمر GPS صناعي يحوم حول الأرض من المعلومات المعطاة عن المسافة بين الأرض والقمر الصناعي. أما القوى التي تؤثر على قمر صناعي يحوم في مدار دائري حول الأرض فهي قوة الجاذبية

F_{G} = \frac{γ \cdot M \cdot m}{r^{2}}

وقوة الطرد المركزي

F_{Z} = \frac{M \cdot v^{2}}{r}

وبما أن هذه القوى تعوض وتوازن بعضها البعض، فإن القمر الصناعي يكون قادر على الحفاظ على حركته الدائرية حول الأرض.

على وجه التحديد، فإن

γ=6.67·10^-11m³(kg s²)^-1 هو ثابت الجاذبية، و
M=5.976·10²⁴ kg هي كتلة الأرض، و
m هي كتلة القمر الصناعي، و
r هي المسافة بين نقطة مركز الأرض والقمر الصناعي.

أما نصف قطر الأرض هو r_E=6371 km .

السؤال رقم 1
باستخدام القيم المعطاة F_G=F_Z، اشتق معادلة للسرعة المتجهة للقمر الصناعي v بالرجوع إلى بعده عن نقطة مركز الأرض (أو نصف قطر مداره الدائري).

الاجابة ↓

بتحويل القيم المعطاة F_G=F_Z، نشتق معادلة يمكن استخدامها لتحديد السرعة المتجهة v على مدار دائري.

v = \sqrt{\frac{γ \cdot M}{r}}

حيث أن (r) = 26571 كم وهي المسافة من القمر الصناعي إلى نقطة مركز الأرض.

السؤال رقم 2
باستخدام المعادلة المشتقة، احسب السرعة المتجهة للقمر الصناعي.

الاجابة ↓

السؤال رقم 3
ما هي المدة التي يحتاجها قمر GPS الصناعي لإتمام دورة واحدة حول الأرض؟

الاجابة ↓

إن وقت الدوران T لمسار دائري هو نتيجة حاصل قسمة المحيط r على السرعة v:

T = \frac{2 π \cdot r}{v}

تذكر أن (r) = 26571 كم وهي المسافة من القمر الصناعي إلى نقطة مركز الأرض.
باستخدام المعادلة أعلاه، يمكننا حساب الوقت الذي يحتاجه قمر GPS الصناعي لإجراء دورة كاملة على مداره. والنتيجة هي: الوقت (T)= 43104 ثانية أي ما يعادل 11 ساعة و58 دقيقة.

السؤال رقم 4
اشتق معادلة لحساب وقت الدوران T دون الرجوع إلى السرعة v.

الاجابة ↓

للتعبير عن وقت الدوران دون الرجوع إلى السرعة، يمكن استخدام معادلة السرعة لتحل محل معادلة الوقت. النتيجة هي:

T = 2 π \sqrt{\frac{r^{3}}{γ \cdot M}}

وبذلك، يحتاج القمر الصناعي لنظام تحديد المواقع العالمي (GPS) إلى حوالي 12 ساعة لإتمام دورة كاملة حول الأرض، أي مرتين في يوم واحد. إلا أن هناك انحراف طفيف في الوقت للغاية يبلغ دقيقتين تقريبًا لكل دورة مما يتسبب في وصول نفس القمر الصناعي إلى نفس النقطة قبل أربع دقائق تقريبًا كل يوم. هذا يعني أن مدار القمر الصناعي يغير موقعه يوميًا بمقدار درجة واحدة 1° تقريبًا غربًا. يُطلق مصطلح مسار القمر الصناعي أو المسار الأرضي على موضع جميع النقاط الموجودة على سطح الأرض والتي تقع في أي وقت على الخط الوهمي المتحرك باستمرار الذي يربط بين القمر الصناعي ومركز الأرض. توضح الصورة أدناه التغيير في مسار القمر الصناعي.

الإزاحة في مسار القمر الصناعي

GPS الملاحة عبر الأقمار الصناعية باستخدام

2. مدارات ومعاملات الأقمار الصناعية لنظام (GPS)